Mithilfe des Integrals lässt sich der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse bestimmen. Lässt man die obere Grenze des Integrals variabel, lässt sich dies auch als Funktion betrachten: [br][br][math]I_a\left(x\right)=\int_a^xf\left(x\right)dx[/math][br]Das bedeutet, jedem x-Wert wird der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall [a;x] zugeordnet. [br][br]Beschreibt die Funktion f die Geschwindigkeit, entspricht diese Funktion die ab dem Zeitpunkt a zurückgelegte Strecke.
Begründe, welchen Wert [math]I_3\left(3\right)[/math] hat.
Der Wert ist 0. Im Anwendungskontext, würde hier die zurückgelegte Strecke zwischen Minute 3 und Minute 3 berechnet werden.
Erkläre, warum im oben dargestellten Fall [math]I_a\left(x\right)[/math] negativ ist für [math]x\text{<}a[/math] .
Für [math]x\text{<}a[/math] ist die obere Grenze des Integrals kleiner als die untere. Die eigentlich positive Flächenbilanz wird somit negativ gewertet.
Erkläre, warum der Graph von [math]I_a[/math] streng monoton steigt. Beschreibe ferner, wie der Graph von [math]f[/math] aussehen muss, damit der Graph von [math]I_a[/math] fällt.
Solange der Graph von f oberhalb der x-Achse verläuft, wertet das Integral den Flächeninhalt als positiv. Mit zunehmendem x wird somit auch der Wert des Integrals größer, da der betrachtete Flächeninhalt zunimmt.
Überlege dir den Term der Integralfunktion für die folgenden Fälle. [br]a) [math]f\left(x\right)=3[/math]. [math]a=0[/math][br][br]b) [math]f\left(x\right)=2x[/math], [math]a=0[/math][br][br]Tipp: Zeichne den Graphen von f und überlege dir dann einen Term für den Flächeninhalt im Intervall [0;x]
Trage deine Integralfunktionen hier ein: