Lagebeziehungen von Geraden - Seminar Mathematikdidaktik
Mit Hilfe dieser Seite untersuchen wir die verschiedenen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten, wie die Geraden zueinander liegen können.[br][br]Einige Lagebeziehungen kennst du schon aus dem 2-dimensionalen: identische Geraden, sich schneidende Geraden und parallele Geraden. Im 3-dimensionalen kommt folgender Fall hinzu: Zwei Geraden heißen [i]windschief[/i], wenn sie nicht parallel sind und auch keinen Schnittpunkt besitzen.[br]_______________________________________________________________________________________________
Applet zu Möglichkeiten 1 & 2
Möglichkeiten 1 & 2
a) Beschreibe die Lage der beiden Geraden zueinander.[br][br]
Möglichkeiten 1 & 2
b) Es gibt hier einen Sonderfall (das ist Möglichkeit 2). Finde und beschreibe diesen.
Möglichkeiten 1 & 2
c) Nenne die Bedingungen für diesen Sonderfall und beschreibe die notwendigen Eigenschaften von Stütz- und Richtungsvektoren.
Kreuze die korrekte Lagebeziehung an, um Möglichkeit 1 zu beschreiben.
Kreuze die korrekte Lagebeziehung an, um Möglichkeit 2 zu beschreiben.
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Applet zu Möglichkeit 3
Möglichkeit 3
a) Beschreibe die Lage der beiden Geraden zueinander.[br]
Möglichkeit 3
b) Nenne die Bedingungen an Stütz- und Richtungsvektoren, damit diese Lagebeziehung zustande kommt.[br]
Kreuze die korrekte Lagebeziehung an, um Möglichkeit 3 zu beschreiben.
Möglichkeit 3
c) Auch hier kann es zu einem Sonderfall kommen. Finde diesen, nenne die zugehörige Bedingung und vergleiche mit dem Sonderfall aus dem Applet zu Möglichkeit 1 und 2.
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Applet zu Möglichkeit 4
Möglichkeit 4
a) Bewege die Ansicht, sodass du die Geraden aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten kannst.
Möglichkeit 4
b) Nenne die Unterschiede dieser Lagebeziehung zu den vorherigen.[br]
Möglichkeit 4
c) Bestimme die Bedingungen, die zu dieser Lagebeziehung führen.
Möglichkeit 4
d) Begründe, warum diese Lagebeziehung im 2-dimensionalen nicht auftritt.
Kreuze die korrekte Lagebeziehung an, um Möglichkeit 4 zu beschreiben.
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Ordne die Lagebeziehungen ihren entsprechendern Feldern in der Tabelle zu.
[table][tr][td][/td][td]min. 1 Schnittpunkt[/td][td]kein Schnittpunkt[/td][/tr][tr][td]kollineare Richtungsvektoren[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]nicht kollineare Richtungsvektoren[/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
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Erstellung eines Schemas
Nutze nun die Tabelle, um ein Schema zu erstellen, mit dessen Hilfe du die Lagebeziehung zweier beliebiger Geraden feststellen kannst. Das nachfolgende Bild kann dir dabei als Vorlage für dein Schema dienen.
Nutze dein Schema und überprüfe:
Bestimme die Lagebeziehung folgender Geraden unter Zuhilfenahme deines Schemas:[br] r[sub]1[/sub]: [math]\vec{x}[/math]= [math]\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}3\\6\\9\end{matrix}\right)[/math] und r[sub]2[/sub]: [math]\vec{x}[/math]=[math]\left(\begin{matrix}-3\\5\\-1\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}-1\\-2\\-3\end{matrix}\right)[/math]
Geraden selbst konstruieren
Konstruiere nun zur Gerade f:[math]\vec{x}[/math]= [math]\left(\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right)+v\cdot\left(\begin{matrix}3\\0\\1\end{matrix}\right)[/math] Geraden g, h, i, j, sodass ...[br]- ... g windschief zu f ist. [br]- ... h sich mit f schneidet.[br]- ... i und f parallel sind. [br]- ... j und f identisch sind mit verschiedener Parameterdarstellung.[br][br]