從旋轉拋物面的光學性質不難得知，不論是接收訊號的拋物面天線、蝶式聚熱太陽能的聚光盤、手電筒的聚光杯等等，所使用的形狀，都是旋轉拋物面。　因為只要進入旋轉拋物面的光線/訊號平行對稱軸，都會聚集到旋轉拋物面的焦點；而從拋物面的焦點發出去的光線/訊號，也都會平行對稱軸向外射出。[br][br]那麼，如果使用橢圓拋物面的話，這些平行射向橢圓拋物面的光線，會發生什麼事情呢？[br]那就先來看看橢圓拋物面的特性。

若用一個與對稱軸垂直的平面，切過橢圓拋物面，截痕即是一個橢圓；若用一個包含對稱軸的平面，切過橢圓拋物面，其截痕仍是拋物線，但會因為切的角度不同而截出開口大小也不相同的拋物線，當然，它們的焦點也都不在同個位置。[br][br]

在之前的作品4之中，為了做出法線，我們使用了一個方法：[br]對旋轉拋物面[i]z[/i]=[i]a(x[/i][sup]2[/sup]+[i]y[/i][sup]2[/sup]) ，過拋物面上P點的法線，可使用以下指令製作：[br] Line( P , ( 0 , 0 , [i]z[/i](P) + 1/(2[i]a[/i]) )[br][br]由於旋轉拋物面所截出的拋物線，其開口大小都一樣；但是，橢圓拋物面的截出的拋物線，其大小都不相同，這也代表各個拋物線所使用的係數[i]a[/i]都是不同的。[br]那麼，只要我們能夠每次都推算出當時拋物線的係數[i]a[/i]之值，上次製作拋物面法線的技巧，仍舊可以使用。[br][br]

參考上圖[br]B為橢圓拋物面上一點，圖中藍色拋物線，即B點所在的截痕拋物線。[br][i]h[/i]為B點到底部平面([math]xy[/math]平面)的距離，[i]d[/i]則是B點到對稱軸([math]z[/math]軸)的距離。[br][br]若B=([math]x,y,z[/math])，則[i]h[/i]=[math]z[/math] , [i]d[/i]=[math]\sqrt{x^2+y^2}[/math][br]將其代入到常用的二次函數形式，來推得係數[i]a[/i][br][i]h[/i]=[i]ad[/i][math]^2[/math] => [i]a[/i] = [math]\frac{h}{d^2}=\frac{z}{x^2+y^2}[/math][br][br]那麼，對於一個在橢圓拋物面上的P點，其法線就可寫成[br]Line( P , ( 0 , 0 , [math]z\left(P\right)+\frac{x\left(P\right)^2+y\left(P\right)^2}{2z\left(P\right)}[/math])[br][br]既然有了法線，那模擬光線反射就不是問題了。[br][br]不過在此處，我們想要討論的，是光線平行對稱軸，射向橢圓拋物面的情形，[br]所以只需要做一次~兩次反射即可。

(1) 在"檢視"之中操作，開啟3D繪圖區。[br]　　這次因為需要數值滑桿，所以主繪圖區不要關閉，但是可以將主繪圖區的格線與座標軸隱藏。[br][br](2) 製作數值滑桿b，用於調控橢圓拋物面的形狀。[br]名稱：b　　類型：數值　　最小：3　　最大：5　　增量：0.1[br][br](3) 製作數值滑桿r，用於調控光源起點的位置。[br]名稱：r　　類型：數值　　最小：-9　　最大：9　　增量：0.2[br][br](2) 製作數值滑桿θ，用於調控光源起點的位置。[br]名稱：θ　類型：角度　　最小：0°　　最大：360°　　增量：1°

(1) 輸入指令：A = rotate( (r,0,10) , θ , z軸 ) 。[br]　．這樣A點就是一個在半徑為r、圓心為(0,0,9)的水平面圓上的點了。[br]　．操作數值滑桿r,θ就能調整A點位置。[br][br](2) 在指令列輸入指令：z =x^2 / 25 + y^2 / b^2[br]　．確認一下拋物面的名稱是否為f，以下以拋物面名稱為f為例去操作[br]　，當b=5時，f即是旋轉拋物面[br][br](4) 製造當光線從A平行對稱軸往下射時，光線在拋物面上的反射點B。[br]　輸入指令 B = Intersect(f, Ray(A, A+(0,0,-1) ) )[br][br](5) 製作向量AB，作為光線的示意。[br][br]PS: 用方程式製作的曲面，會是無限延伸的，有的時候可能會遮蔽視線。這時候就可以靠參數曲面，來製作一個有邊界的曲面來模擬了。[br]輸入指令　S = Surface(5k cos(θ), b*k sin(θ), k², k, 0, 4, θ, 0, 2π)[br]接著再將原本的拋物面f隱藏。[br]但注意，參數曲面無法用來製作交點或切線等等，所以指令輸入時，仍要使用原本的拋物面方程式f　。

在B點上的法線為 Line( B , ( 0 , 0 , z(B) + (x(B)^2+y(B)^2 )/( 2*z(B) ) ) )　，[br]但法線是用來幫我們找出對稱點，也就是光線的走向。這裡我們就不再製造出法線。[br][br](1) 做點A對「B的法線」之對稱點A'，[br]輸入指令A' = Reflect( A , IF(z(B)!=0 , Line( B , ( 0 , 0 , z(B) + (x(B)^2+y(B)^2 )/( 2*z(B) ) ) ) , z軸)) 。[br][br]這裡這樣設定，是因為當A在z軸上時，第一個反射點B會變成(0,0,0)，那上述的法線的寫法，就會出現分母為0的作物情形。而當B = (0,0,0)時，不難想像，其法線就是z軸。[br][br](2) 做出射線r1，輸入指令 r1 = Ray( 0.99*B+0.01*A' , A' )。[br](3) 做出射線r1與拋物線f的交點，C = intersect( r1,f )。[br](4) 製作向量BC，作為光線的示意。

(1) 利用前一個反射點，做點B對「C的法線」的對稱點B'，[br]輸入指令Reflect( B , Line( C , ( 0 , 0 , z(C) + (x(C)^2+y(C)^2 )/( 2*z(C) ) ) ) )。[br][br]此處不做像上一步驟那麼複雜的設定，是因為我們現在考量的情形，是光線一開始就平行對稱軸往下射。而在這種情況下，只有第一次反射時的反射點，有機會變成(0,0,0)。[br][br](2) 做出射線r2，輸入指令 r2 = Ray( 0.99*C+0.01*B' , B' )。[br][br]因為光源是平行對稱軸射向拋物面，所以最多只會有兩次的反射。[br]這次的反射光線，就不會再碰到拋物面了。

(1) 當起始光源A到B之間會通過焦點時(A在z軸上，B為(0,0,0) )，光線反射一次後會遠離拋物線，所以要讓射線r1顯示。[br]將射線r1的[b]顯示條件[/b]設定為「 z(B) == 0 」，同時製造向量BA'，讓射線r1看起來更有方向感，並使該向量的[b]顯示條件[/b]亦設為「 z(B) == 0 」。[br][br](2) 當起始光源A到B之間沒有通過焦點時，光線反射兩次後會遠離拋物線，所以要讓射線r2顯示，用來表示射向無限遠處的光線。[br]這裡不需多做設定，讓r2顯示就好。當B=(0,0,0)時，射線r2就會因為下一個反射點C不存在，所以r2也會跟著不存在。[br]但為了讓射線r2顯示時更具有方向性，這裡就要製造向量CB'[br][br](3) 隱藏不必要出現的對稱點。

(1) 製作射線r1和z軸的交點，輸入 F = Intersect( r1 , z軸 )[br](2) 製作向量BF，來強調光線與對稱軸的交點。

(1) 當你固定θ時，改變r的數值，你可以觀察到Ａ點會在一線段上移動。此時光線與對稱軸(z軸)的交點固定不變。[br][br](2) 當你改變θ的數值時，光線與對稱軸(z軸)的交點會不斷變動，但是固定在一個線段內。