[size=85][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] [color=#ff7700][i][b](17.Juni 2021[/b][/i][/color])[/right][/size][br][color=#cc0000][i][b]Zusammenhänge - in Kurzfassung:[/b][/i][/color][br][br]Eine [b][i]komplex-differenzierbare[/i][/b] Funktion [math]g:\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}\rightarrow\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math], welche einer [i][b]elliptischen[/b][/i] [i][b]Differentialgleichung[/b][/i] [br]des Typs genügt[br][/size][list][*][math]\left(g'\right)^2=\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math] [size=85]mit[/size] [math]f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}[/math][/*][/list][size=85]ist eine [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168952]doppelt-periodische elliptische Funktion[/url][/b][/i][/color], wenn die "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] [/size][size=85]verschieden sind.[br]Die [color=#980000][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] [math]x\mapsto g\left(x+i\cdot y\right),y=\mathbf{const}[/math] bzw. [math]y\mapsto g\left(x+i\cdot y\right),x=\mathbf{const}[/math] sind [i][b][color=#00ff00][br]konfokale[/color] [color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/b][/i], wenn die [math]\hookrightarrow[/math] [i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Sv7pstW5]absolute Invariante[/url][/b][/i] [math]\mathbf\mathcal{J}[/math] der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] reell ist.[br][color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind implizit durch Gleichungen des Typs gegeben:[br][/size][list][*][size=85][math]\lambda\cdot\left(x^2-y^2\right)^2+L\left(x,y\right)\cdot\left(x^2+y^2\right)+Q\left(x,y\right)=0[/math] mit[/size][size=85] linearem [/size][math]L\left(x,y\right)[/math][size=85][/size][size=85], quadratischem [/size][math]Q\left(x,y\right)[/math][size=85] und reellen Koeffizienten.[/size][/*][/list][size=85]Die reell [i]9-dimensionale[/i] Klasse dieser Kurven ist invariant unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][color=#000000].[br]Das Produkt zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisgleichungen[/b][/i][/color] ist eine spezielle [b]b i z i r k ulare[/b] [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color].[/color][/color][br][color=#cc0000][i][b]Sonderfälle:[/b][/i][/color] [b](*)[/b] 2 der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] fallen zusammen; wählt man diesen [color=#00ff00][i][b]doppelt-zählenden Brennpunkt[/b][/i][/color] als [math]\infty[/math], so sind[br]die Lösungskurven [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] 2-achsige [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color]. Eine Lösung der Differentialgleichung [math]\left(g'\right)^2=\left(g-1\right)\cdot\left(g+1\right)[/math] ist[br]zB. [math]z\mapsto g\left(z\right)=\sin\left(z\right)[/math]; auch [math]\cos(z)[/math] oder [math]\sinh(z)[/math] führen zu [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitten[/b][/i][/color]: [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/nar7wtgh]sin[/url], [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/km7fmdur]cos[/url], [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kvvxepch]sinh[/url].[br][b](**)[/b] ein 3-facher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color], gewählt als [math]\infty[/math], ergibt [math]\hookrightarrow[/math] [/size][size=85][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/jhamtsng][color=#00ff00][i][b][size=85][color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color][/url].[br][b](***)[/b] [b]2[/b] doppelt-zählende [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], bzw. ein [b]4[/b]-fach zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] führen auf das Quadrat eines [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color].[br][br][color=#cc0000][i][b]Normalformen:[/b][/i][/color][br][br]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathbf\mathcal{J}[/math] reell und nicht-negativ, so sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color]. Sind sie verschieden,[br]so besitzen die 2-teiligen Lösungs-[color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] [b]4[/b] orthogonale [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color], einer davon ist imaginär.[br]In [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168947]Normalform[/url][/b][/i][/color] sind die [color=#BF9000][i][b]Koordinatenachsen[/b][/i][/color] und der [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] die [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color][/size].[br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] liegen auf einem der [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color]. [br]Ist [math]\mathbf\mathcal{J}\le0[/math], so besitzen die 1-teiligen Lösungs-[color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] [b]2[/b] [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color][/size], die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen [br]paarweise spiegelbildlich auf diesen.[br]In [color=#0000ff][i][b]Normalform[/b][/i][/color] sind die [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Koordinatenachsen[/b][/i][/color][/size] die [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color][/size], die [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size] [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] liegen auf diesen.[br][br][color=#cc0000][i][b]Brennkreise - [color=#999999]doppelt-berührende Kreise[/color]:[/b][/i][/color][br][br]Die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] werden aufgeteilt in 2 [color=#ff0000][i][b]Punkte-Paare[/b][/i][/color]: für die 1-teiligen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] in die beiden spiegelbildlichen Punkte-Paare, [br]für die anderen Fälle ist jede Aufteilung möglich (!).[br]Es ergeben sich jeweils [b]2[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]: für 1-teilige muss eines [color=#9900ff][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], das andere [color=#9900ff][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] sein, [br]in den anderen Fällen sollten die [color=#ff0000][i][b]Büschel[/b][/i][/color] vom gleichen Typ sein. Bei zusammenfallenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] ist ein [br]geeignetes [color=#9900ff][i][b]parabolisches[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] möglich.[br]Durch fast jeden Punkt der Ebene geht aus jedem der beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] genau ein [/size][size=85][size=85]Kreis[/size]: "[color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color]".[br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken [/b][/i][/color]sind [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color], die [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Büschelkreise[/b][/i][/color] sind [br][color=#666666][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color], oder die [color=#666666][i][b]Orthogonalkreise[/b][/i][/color] zu diesen! [size=50]Hierzu ein [i][b]Hinweis[/b][/i] in den Bemerkungen unten.[/size][/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b][size=100]Die Formeln:[/size][/b][/i][/color][br][br][size=85]Die [i][b]impliziten Gleichungen[/b][/i] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] [/size]In [color=#0000ff][i][b]Normalform:[/b][/i][/color] [br][/size][list][*][size=85][math]\lambda\cdot\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math] mit [/size][math]\lambda\in \{0,1\}[/math], [math]A_{x,}B_y\in\mathbb{R}[/math] [size=85]und [/size][math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math].[br][/*][/list][size=85][color=#cc0000][i][b]Fälle:[/b][/i][/color] [br][/size][list][*][size=85] [math]\lambda=0[/math]: 2-achsige [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color];[/size][/*][*][size=85] [math]\delta=0[/math]: 2-achsige [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color][/size], invertiert am [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color];[/size][/*][*] [size=85][math]\lambda=1,\delta=1[/math]: [b] 2[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color];[/size][/*][*][size=85] [math]\lambda=1,\delta=-1[/math]: [b] 1[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[/size][/*][/list][br][color=#cc0000][i][b]Scheitel:[/b][/i][/color][br][size=85][br][list][*][math]\begin{tabular}{|l|l l|}\hline \lambda=1: & s_x=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x\,^2-\delta}}; & \mbox{ \sf{die Wurzel ist reell zu berechnen, daraus ermittelt man}}\\ & & \mbox{\sf{ die Anzahl und die Lage der x-Achsen-Schnittpunkte.}}\\ \hline & s_y=\pm i\cdot\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y\,^2-\delta}}; & \mbox{\sf{ auch hier ist die Wurzel reell zu berechnen. }}\\ \hline \lambda=0 : & s_x=\pm\sqrt{\frac{\delta}{2\cdot A_x}} ; & s_y=\pm i\cdot\sqrt{\frac{\delta}{2\cdot B_y}} \\ \hline [br]\end{tabular} [/math][br][/*][/list][br][color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] mit dem [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] [math]c_E[/math]: [math]s_E=\pm\sqrt{\frac{2\cdot B_y-\left(\lambda+\delta\right)}{2\cdot\left(B_y-A_x\right)}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{2\cdot A_x-\left(\lambda+\delta\right)}{2\cdot\left(A_x-B_y\right)}}[/math];[br]Diese Schnittpunkte werden[/size][size=85][size=85], falls sie existieren,[/size] in [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] berechnet mit [i]reell[/i]-rechnender Wurzel![br][br]Sind die [color=#ff7700][i][b]Achsenschnittpunkte[/b][/i][/color] vorgegeben, so lassen sich die [i][b]Koeffizienten[/b][/i] berechnen:[br] [math]A_x=\frac{1}{2}\cdot\left(s_x\,^2+\frac{\delta}{s_x\,^2}\right)[/math] und / oder [math]B_y=\frac{1}{2}\cdot\left(s_y\,^2+\frac{\delta}{s_y\,^2}\right)[/math], wobei zur Abkürzung [math]s_y\equiv y\left(s_y\right)[/math] gesetzt sei.[br][br][color=#00ff00][color=#000000]Die[/color][i][b] Brennpunkte:[/b][/i][/color][br][list][*][math] \begin{tabular}{|l|l|}\hline \lambda=1 & \mbox{\sf{ mit }}Q_x=\frac{\delta-A_x\cdot B_y}{A_x-B_y}=-Q_y\mbox{\sf{ ergeben sich die \textcolor{green}{\bold{Brennpunkte}}: }}f=\pm\sqrt{Q_x\pm\sqrt{Q_x^2-\delta+0\cdot i}} \\ \hline \- & \mbox{ \sf{ Dabei berechnet in \textcolor{red}{\bold{geogebra}} die \bold{komplexe} Wurzelfunktion die \textcolor{green}{\bold{Brennpunkte}} auch dann, }}\\ \- & \mbox{\sf{ wenn sie auf der y-Achse oder auf dem Einheitskreis liegen! }} \\ \hline \lambda=0 & f_{\pm}=\pm\sqrt{\frac{\delta}{2\cdot A_x}-\frac{\delta}{2\cdot B_y}+0\cdot i} \mbox{\sf{; nicht zu erkennen ist }}\infty \mbox{\sf{ als doppelt-zählender \textcolor{green}{\bold{Brennpunkt}}.}}\\ \hline[br]\lambda=1 \mbox{ und} & \- \\ \mbox{\textcolor{green}{\bold{Brennpunkte }}}f & \- \\ \mbox{vorgegeben} & Q_x=\frac{1}{2}\cdot\left(f^2+\frac{\delta}{f^2}\right) \mbox{\sf{ Damit kann man die konfokalen Quartiken berechnen.}} \\ \hline[br]\end{tabular} [/math][br][/*][/list][br][/size][size=85][color=#00ff00][i][b][size=85][color=#38761D][i][b]Konfokale[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] durch [color=#ff7700][b]p[sub]0[/sub][/b][/color]:[br][br][math]\lambda=1[/math], [math]\delta[/math], [math]f[/math] und [math]p_0[/math] vorgegeben. Zusammenhang zwischen den Koeffizienten [math]AC_x,BC_y[/math] der [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color][/size] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color]: [br] [math]BC_y=\frac{Q_x\cdot AC_x-\delta}{Q_x-AC_x}[/math]. Zu lösen ist die quadratische Gleichung für [math]AC_x[/math]:[br][/size][list][*][size=85][math]\left(x\left(p_0\right)^2+y\left(p_0\right)^2\right)^2-2\cdot AC_x\cdot x\left(p_0\right)^2-2\cdot\frac{Q_x\cdot AC_x-\delta}{Q_x-AC_x}\cdot y\left(p_0\right)^2+\delta=0[/math][/size][br][/*][/list][size=85]Die [b]2[/b] Lösungen liefern die 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] durch [color=#ff7700][b]p[sub]0[/sub][/b][/color].[/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Bemerkungen:[/b][/i][/color][br][/size][size=85]Das Applet oben verwendet die angegebenen Formeln, die Fallunterscheidungen erfordern [br]mitunter aufwendigen Einsatz der Logik.[br]Obwohl im [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-Handbuch angegeben wird, dass [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]komplexe Zahlen[/b][/i][/color] nicht unterstützt,[br]kann man die fantastische Fähigkeit von [/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color][/size], zwischen reellen und komplexen Funktionen zu[br]unterscheiden, sehr produktiv nutzen:[br] - sind die Radikanden erkennbar reell, so ergeben sich für negative Radikanden keine Lösungen;[br] - für erkennbar komplexe Radikanden[/size][size=85][size=85] dagegen[/size], zB. mit dem Trick [math]+0\cdot i[/math], werden auch komplexe Lösungen[br] angezeigt![br]Leider sind in [/size][size=85][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color][/size][/size] keine [color=#0000ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] implementiert: man kann weder die [b]Weierstraßsche[/b] [math]\wp[/math]-Funktion[br]noch die [b]Jacobi[/b]schen [color=#0000ff][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] in [size=85][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color][/size][/size][/size] so anzeigen, wie es etwa für [math]\mathbf{sin}(z)[/math], [math]e^z[/math] oder [math]1/z[/math] möglich ist[br] - siehe das Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][color=#0000ff][u][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/u][/color][/url]. [br]Die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] lassen sich daher nicht wie [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] mit Hilfe solcher komplexer[br]Funktionen darstellen.[br][br]Ein [i][b]Hinweis[/b][/i] zu dem Zusammenhang zwischen[/size][size=85][size=85] [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color][/size] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color]:[br][color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] lassen sich durch eine Differentialgleichung des Typs [math]g'=\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)[/math] charakterisieren.[br]Die "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" [math]f_1,f_2[/math] sind die (komplexen) Büschel-Grundpunkte. Fallen sie zusammen, ist das [color=#ff0000][i][b]Büschel[/b][/i][/color] parabolisch.[br]Eine [i][b]elliptische Differentialgleichung[/b][/i] läßt sich auf mehrfache Weise aus 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]-[i][b]Differentialgleichungen[/b][/i] erzeugen![br][i][b]Stichwort[/b][/i]: [color=#0000ff][i][b]winkelhalbierend[/b][/i][/color]! [math]\hookrightarrow[/math] siehe das Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949][color=#0000ff][u][i][b]Lineare Vekorfelder[/b][/i][/u][/color][/url].[/size]