Középértékek 4.
Bevezető feladat
Gondoltad volna, hogy egy trapézban megjeleníthető akár négy nevezetes középérték is? Emellett a köztük fennálló nagyságrendi viszonyok is rögtön láthatók!
[size=100]Egy szimmetrikus érintőtrapézban szeretnénk megjeleníteni az alapok felének különböző középértékeit.[br][/size]
Emlékeztető
Hogyan írható fel képlettel az [math]a[/math][i] [/i]és [math]b[/math] pozitív számok számtani ([math]A[/math]), mértani ([math]G[/math]), harmonikus ([math]H[/math]) és négyzetes ([math]N[/math]) közepét?
Az ábrán látható [math]ABCD[/math] trapéz szimmetrikus (tehát húr-) trapéz és érintőnégyszög is egyben. Az [math]O[/math] pont a trapézba írható kör középpontját jelöli.[br]Az alapok hosszának felét [math]a[/math]-val, illetve [math]b[/math]-vel jelöljük.
1. feladat
Az [math]O[/math] (beírt kör középpontja) pontban a trapéz magasságára merőlegest állítunk, ez az [math]AD[/math] szárat az [math]I[/math][i] [/i]pontban metszi. Mutasd meg, hogy az [math]OI[/math] szakasz hossza éppen az [math]a[/math] és [math]b[/math][i] [/i]szakaszok hosszának számtani közepével egyenlő!
2. feladat
Mutasd meg, hogy a trapézba írt kör sugara ([math]OG[/math], ahol [math]G[/math] az érintési pont) éppen az [math]a[/math] és [math]b[/math][i] [/i]szakaszok hosszának mértani közepével egyenlő!
3. feladat
A [math]G[/math] pontból a trapéz szimmetriatengelyére bocsátott merőleges talppontja legyen [math]J[/math]! (A [math]J[/math] pont egyben a trapéz átlóinak metszéspontja.)[br]Mutasd meg, hogy ekkor a [math]GJ[/math] szakasz hossza az [math]a[/math] és [math]b[/math] szakaszok hosszának harmonikus közepével egyenlő!
4. feladat
Végül az [math]O[/math] pontból a hosszabb alap irányában a kör átmérőjére felmérve egy [math]\frac{\mid a-b\mid}{2}[/math] hosszúságú szakaszt, és az így kapott [math]K[/math] pontot az [math]I[/math] ponttal (az [math]AD[/math] szár felezőpontja) összekötve egy derékszögű háromszöget kapunk. Mutasd meg, hogy ennek az átfogója éppen az [math]a[/math][i] [/i]és [math]b[/math] szakaszok hosszának négyzetes közepével egyenlő!
5. feladat
Haladj végig a [math]JGOIK[/math] törött vonalon! Állapítsd meg, hogy milyen reláció áll fenn a következő középértékek között:[br][i]számtani-mértani, mértani-harmonikus, számtani-négyzetes[/i]!
6. feladat
Milyen összefüggés olvasható le a középértékek egymáshoz viszonyított nagyságáról,[br]adott [math]a[/math] és [math]b[/math] értékek esetén?
7. feladat
Mikor egyenlők ezek a közepek? Mit mondhatunk el ekkor a kiindulási trapéz speciális tulajdonságairól?