Der Geradenraum [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math] ist - projektiv betrachtet - eine komplexe projektive Ebene [math]\mathbb{P}\mathcal{G}[/math] mit einer nicht-ausgearteten Quadrik [math]\mathbf{Q_m}[/math].[br]Wir könnten nun diese projektive Ebene mit denselben Begriffen beschreiben, wie sie für die reelle projektive Ebene verwendet werden. Wir vermuten sicher zu Recht, dass die Deutung des Geradenraums der Möbiusebene als komplexe projektive Ebene mit denselben Begriffen "Punkt", "Gerade" zu einer heillosen Verwirrung der geometrischen Sachverhalte führen würde.[br]Wir verdeutlichen den Unterschied durch Verwendung von [i]Majuskeln[/i] und erklären:[br][list][*]Ein PUNKT [b]P[/b] ist ein komplex-eindimensionaler Unterraum [math]\mathbf\cal{U}[/math] von [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math]: [b]P[/b] = [math]\langle\,\mathbf\vec{g}\,\rangle[/math] mit einem erzeugenden Vektor [math]\mathbf\vec{g}\in\mathbf\cal{U}[/math]. Wir verwenden für das Erzeugnis die Symbole [math]\langle\;,\;\rangle[/math], um Verwechslungen mit dem LIE-Produkt zu vermeiden.[/*][*]Die PUNKTE [b]P[/b] auf der Quadrik [math]\mathbf{Q_m}[/math] werden repräsentiert von Berührgeradenvektoren [math]\mathbf\vec{p}[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math].[/*][*]GERADEN [b]G[/b] sind komplex-2-dimensionale Unterräume von [math]\mathbb{P}\mathcal{ G}[/math]. Es gibt nur 2 Arten von GERADEN: [list][*]solche, die [math]\mathbf{Q_m}[/math] in 2 PUNKTEN [math]\mathbf{P}_1=\langle\,\mathbf\vec{p}_1\,\rangle,\,\mathbf{P}_2=\langle\, \mathbf\vec{p}_2\,\rangle[/math] schneiden, der zu [b]G[/b] gehörende Unterraum [math]\mathbf\cal{U}[/math] besteht dann aus allen Vektoren [math]\mathbf\vec{g}[/math] mit [math]\mathbf\vec{g}\bullet \left[\,\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2\,\right]=0[/math],[/*][*]und TANGENTEN mit nur einem SCHNITTPUNKT [b]P[/b] = [math]\langle\,\mathbf\vec{p}\,\rangle\mbox{ mit }\mathbf\vec{p}\,^2=0[/math]. Der Unterraum [math]\mathbf\cal{U}[/math] besteht dann aus allen [math]\mathbf\vec{g}\mbox{ mit }\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math], das sind die Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}[/math], die [math]\mathbf\vec{p}[/math] als einem Pol besitzen.[/*][*]Der POL einer GERADEN [math] \mathbf{G}=\langle\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\rangle [/math] bezüglich der Form [math] \bullet[/math] ist der PUNKT [math] \mathbf{P}=\langle\,\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right]\,\rangle [/math][br][/*][/list][/*][*]Die VERBINDUNGSGERADE [b]G[/b] zweier PUNKTE [math] \mathbf{P}_1=\langle\,\mathbf\vec{g}_1\,\rangle,\mathbf{P}_2=\langle\,\mathbf\vec{g}_2\,\rangle[/math] ist [math]\mbox{ }\mathbf{G}=\langle\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\rangle=\left\{\mathbf\vec{g}\in\mathbf\mathcal{ G}\;|\;\mathbf\vec{g}\bullet\left[\,\mathbf\vec{g}_1\,,\mathbf\vec{g}_2 \,\right]=0\right\}[/math].[/*][*]Der SCHNITTPUNKT zweier GERADEN [math]\mathbf{G}_1=\langle\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\rangle,\mathbf{G}_2=\langle\,\mathbf\vec{g}_3,\mathbf\vec{g}_4\,\rangle[/math] ist [math] \mathbf{P}=\langle\,\left[\left[\,\mathbf\vec{g}_1\,,\mathbf\vec{g}_2 \,\right]\,,\left[\,\mathbf\vec{g}_3\,,\mathbf\vec{g}_3 \,\right]\right]\,\rangle[/math].[/*][*]Die POLARGERADE eines PUNKTES [b]P[/b] = [math]\langle\,\mathbf\hat{\vec{g}}\,\rangle[/math] ist [math]\mathbf{G} = \left\{\mathbf\vec{g}\in\mathbf\mathcal{ G}\;|\;\mathbf\hat{\vec{g}}\bullet\mathbf\vec{g}=0\right\}[/math].[/*][/list]Die Rechnungen und die Beziehungen sind dieselben wie in der reellen projektiven Ebene, nur dass in [math]\mathbb{P}\mathcal{G}[/math] zusätzlich die Quadrik [math]\mathbf{Q_m}[/math] ausgezeichnet ist, und mit ihr eine Polarität. Das wichtigste Rechenhilfsmittel ist das Kreuzprodukt, welches wir in [math]\mathbb{P}\mathcal{G}[/math] weiterhin als LIE-Produkt [ , ] kennzeichnen. [br]Allerdings ist im komplexen projektiven Geradenraum die geometrische Deutung der Beziehungen im wahrsten Sinne des Wortes wesentlich komplexer. [br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][br]