Studera sambandet mellan värdet på lutningen av tangenterna och derivatan i appletten nedan.[br]Drag de ljusgröna punkterna upp och ned för att ändra lutningen så att du får 6 tangenter. Kolla sedan vilken graf de punkterna bildar och jämför med derivatan.[br]Nollställ och ändra gärna [math]f(x)[/math] till någon annan funktion och studera.[br]Appletten är gjord av Jens Michelsen (https://www.geogebra.org/jens.michelsen) men redigerad av mig.

För att derivera en funktion [math]f(x)[/math] för ett visst värde [math]x=a[/math] kan man använda derivatans definition:[br][math]f'\left(a\right)=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}[/math][br][br]Låt oss försöka derivera en ganska enkel funktion för att se vad som händer.[br]Vi deriverar [math]f(x)=x[/math] då [math]x=2[/math], en del vet nog redan derivatan till denna.[br][math]f'\left(2\right)=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{\left(2+h\right)-2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{h}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}1=1[/math][br]Först är det lite formalia. Vi skriver upp att vi ska hitta derivatan då [math]x=2[/math] som följs av hur vi ska göra det.[br]I tredje steget är det då saker händer. Vi byter ut x i [math]f(x)[/math] mot [math](2+h)[/math] och 2, som det står. Sedan kan vi subtrahera tvåorna mot varandra.[br]I fjärde steget ser det ut som att vi ska dividera med 0, men vi kan dela h med h så att det blir 1.[br]Detta ger att i femte steget har vi inga h kvar, alltså gränsvärdet blir inga problem.[br][br]Låt oss nu derivera [math]f(x)=x^2[/math] då [math]x=3[/math].[br][math]f'\left(3\right)=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{f\left(3+h\right)-f\left(3\right)}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{\left(3+h\right)^2-3^2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{3^2+6h+h^2-3^2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{6h+h^2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}6+h=6[/math][br]Här kanske vi ska börja prata om fjärde steget. Här har vi gjort första kvadreringsregeln och då kan vi se att vi kan subtrahera bort [math]3^2[/math] med varandra.[br]I femte steget innehåller bägge termer i täljaren h, vi kan då dividera med h.[br]I sjätte steget kan vi nu lugnt låta det kvarvarande h:et bli 0 vilket lämnar oss med derivatan.[br][br]Låt oss nu göra en svårare [math]f\left(x\right)=3x^2+5x+9[/math] då [math]x=4[/math].[br][math]f'\left(4\right)=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{f\left(4+h\right)-f\left(4\right)}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{\left(3\left(4+h\right)^2+5\left(4+h\right)+9\right)-\left(3\cdot4^2+5\cdot4+9\right)}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{\left(3\left(4^2+8h+h^2\right)+20+5h+9\right)-\left(3\cdot4^2+20+9\right)}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{3\cdot4^2+3\cdot8h+3h^2+20+h5+9-3\cdot4^2-20-9}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{24h+3h^2+5h}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{3h^2+29h}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}3h+29=29[/math][br]Ja, kolla genom vad som gjorts...[br]Tredje steget är att sätta in i funktionen och sedan handlar det om att förenkla till dess att man får bort alla konstanter så man kan dividera med h och sedan göra gränsvärdet.

Eftersom detta är matematik så vill man inte uppfinna hjulet var gång man ska ha reda på en derivata för en funktion.[br]Därför kan vi derivera en funktion och använda den direkt.[br]Vi deriverar [math]f(x)=3x^2[/math] då [math]x=2[/math] och [math]x=3[/math].[br]I stället för att sätta ett värde deriverar vi funktionen.[br][math]f'\left(x\right)=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{3\left(x+h\right)^2-3x^2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0h\rightarrow0\end{matrix}\frac{3\left(x^2+2hx+h^2\right)-3x^2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{3x^2+6hx+3h^2-3x^2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}\frac{6hx+3h^2}{h}=\begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\end{matrix}6x+3h=6x[/math]Vi har fått fram att derivatan är en funktion för sig![br][math]f'(x)=6x[/math][br]Nu kan vi beräkna de två derivatorna med denna funktion.[br][math]f'(2)=6\cdot2=12[/math][br][math]f'(3)=6\cdot3=18[/math]

Som sagt tidigare, man vill inte uppfinna hjulet var gång...[br]Det finns några deriveringsregler, "genvägar" man kan använda.[br][br]Som för den typen av funktioner ovan kan man använda:[br][math]f\left(x\right)=k\cdot x^n\Longrightarrow f'\left(x\right)=k\cdot n\cdot x^{n-1}[/math] där k är en konstant[br]Den säger att man multiplicerar konstanten k med exponenten n och sedan minskar exponenten med 1.[br][br]Om vi kikar på den trevliga ovan igen.[br]Vi ska derivera [math]f(x)=3x^2[/math][br][math]f'\left(x\right)=3\cdot2\cdot x^{2-1}=6x^1=6x[/math].[br]Ett tips är att du lär dig detta...[br][br]Vi deriverar [math]g(x)=4x^5[/math][br][math]g'\left(x\right)=4\cdot5\cdot x^{5-1}=20x^4[/math].[br][br]Men om man saknar konstanten k? Då är den ju 1 eftersom vi fortfarande har ett uttryck...[br]Vi deriverar [math]h(x)=x^{99}[/math][br][math]h'\left(x\right)=1\cdot99\cdot x^{99-1}=99x^{98}[/math].[br][br]Om det saknas exponenten n? Då är den ju 1 eftersom vi fortfarande har en bas...[br]Vi deriverar [math]i\left(x\right)=5x[/math][br][math]i'\left(x\right)=5\cdot1\cdot x^{1-1}=5x^0=5\cdot1=5[/math]. En genväg att tänka är att om man ska derivera x så "försvinner den".[br][br]Men om vi bara har konstanten k?[br]Vi deriverar [math]j(x)=9[/math][br][math]j'(x)=9\cdot0\cdot x^{0-1}=0[/math]. En konstant blir alltid 0. Vi kan ju skriva dit x med exponenten 0, då kommer allt multipliceras med 0 och blir då 0.[br][br]En annan regel är om man deriverar polynom. Alltså lite förenklat om funktionen innehåller + eller -.[br][math]f(x)=g(x)+h(x)+...+n\left(x\right)\Longrightarrow f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'\left(x\right)+...+n'\left(x\right)[/math].[br]Man deriverar var del för sig.[br][br]Låt oss ta ett exempel ovan som var väldigt lång derivering.[br]Vi deriverar [math]f\left(x\right)=3x^2+5x+9[/math][br][math]f'\left(x\right)=3\cdot2\cdot x^{2-1}+5\cdot1\cdot x^{1-1}+5\cdot0\cdot x^{0-1}=6x^1+5x^0+0=6x+5[/math][br]Efter lite övning kan man hoppa direkt till svaret.

Vanliga funktioner deriveras snabbt med:[br][math]f\left(x\right)=kx^n\Longrightarrow f'\left(x\right)=k\cdot n\cdot x^{n-1}[/math][br]Om det är ett polynom deriveras var del för sig:[br][math]f(x)=g(x)+h(x)+...+n\left(x\right)\Longrightarrow f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'\left(x\right)+...+n'\left(x\right)[/math][br]Derivatan av en konstant är 0:[br][math]f\left(x\right)=k\Longrightarrow f'\left(x\right)=0[/math]