Die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen auf einem Kreis. Projiziert man die Möbiusquadrik vom Pol dieses Kreises auf die Ebene des Kreises (hyperbolische Ebene), so ergibt sich obiges Bild: Die beiden anderen reellen Symmetriekreise können als [math]x[/math]- und [math]y[/math]-Achse dargestellt werden, der Schnitt der Möbiusquadrik mit der Ebene erscheint als Einheitskreis, auf dem die Brennpunkte paarweise achsensymmetrisch liegen. Die zugehörigen Berührgeraden in der Ebene sind die Tangenten. Den Pol der Ebene denken wir uns als Fernpunkt.[br]Die Projektion der zweiten quadratischen Form muss einen Kegelschnitt ergeben, welcher dieselben Nullstellen, also hier dieselben Tangenten und dieselben Symmetrien besitzt. Damit ist ein [i][b]Kegelschnitt-Büschel[/b][/i] festgelegt mit 4 symmetrisch liegenden Punkten auf den Tangenten. Einen davon, [math]f^{*}[/math] kann man bewegen. Liegt [math]f^{*}[/math] außerhalb des von den Achsen begrenzten Intervalls, so schneiden sich die Quadriken nicht, die zweite Quadrik ist nicht reell. Sonst ist der Schnitt der zweiten Quadrik mit der Möbiusquadrik zweiteilig, in der [b]3D[/b]-Darstellung ergibt sich ein Zylinder über dem 2.ten Kegelschnitt, der Fernpunkt der Ebene gehört zu einem Eigenvektor der zweiten Bilinearform [math]\mathbf{J}[/math], die im Möbiusraum zu einer der hermiteschen Formen der zugehörigen quadratischen Form [math]\mathbf{S}[/math] gehört (siehe [b]10.8[/b] [b]Zusammenhänge[/b]). [br]Die Schnittkurve, die aus dem Schnitt der Möbiuskugel mit der zu [math]\mathbf{J}[/math] gehörenden zweiten Quadrik entsteht, also die bizirkulare Quartik, ist für das ganze Quadrikbüschel [math]\mbox{ Möbiuskugel }+\; \lambda *\mbox{ Zylinder}\,\left(\mathbf{J}\right)[/math] derselbe.[br]Interessant ist jedoch, welche Quadrikformen dieses Büschel durchläuft: [br][i][b]Zylinder[/b][/i], also eigentlich Kegel, [i][b]Ellipsoid[/b][/i], [i][b]einteilige[/b][/i], [i][b]zweiteilige Hyperboloide[/b][/i] und vor allem interessant: einen [i][b]Kegel[/b][/i] durch den Kugelmittelpunkt, hierzu gehört der nicht-reelle Symmetriekreis,[br]und zwei weitere [i][b]Zylinder[/b][/i] in den beiden Achsenrichtungen. [br]Die zweite Bilinearform [math]\mathbf{J}[/math] im [math] \mathbf{V}_4 [/math] hat 4 reelle Eigenvektoren! Diese Vektoren repräsentieren die 4 paarweise orthogonalen Symmetriekreise.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]