[br]Da die Galilei-Transformation für kleine Geschwindigkeiten nicht falsch ist, verwenden wir einen[br][br][b][center]Ansatz   x' = k[b]·[/b](x - v[b]·[/b]t)[/center][/b]mit einem noch zu bestimmenden Faktor k (für die Galilei-Transformation gilt: k = 1).[br][br]Da alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind, muss auch gelten   [b]x = k[b]·[/b](x' + v[b]·[/b]t)[/b][br][br][table][tr][td]Im Inertialsystem I gilt: [br]x = c·t   bzw.  [math]t=\frac{x}{c}[/math][br][/td][td]Im relativ zu I bewegten Inertialsystem I' gilt: [br]x' = c·t'   bzw.  [math]t'=\frac{x'}{c}[/math][br][/td][/tr][/table][br]Damit wird aus dem Ansatz nun für x' und x[br][center][math]x'=k\cdot\left(x-v\frac{x}{c}\right)[/math]    (1)[br][math]x=k\cdot\left(x+v\frac{x'}{c}\right)[/math]    (2)[/center][br]Durch Multiplikation von (1) und (2) ergibt sich[br] [center][math]x\cdot x'=k^2\cdot\left(x'+v\frac{x'}{c}\right)\cdot\left(x-v\frac{x}{c}\right)[/math]  [br][math]x\cdot x'=k^2\cdot x\cdot x'\cdot \underbrace{ \left(1+\frac{v}{c}\right)\cdot\left(1-\frac{v}{c}\right)}_{ \left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}[/math] [br][br][math]1=k^2\cdot \left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right)[/math] [br][math]k= \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}[/math] [/center]Für die Koordinaten x' und t' ergibt sich außerdem durch Einsetzen in den Ansatz[br][center] [math]\mathbf{x'= \frac{x-v\cdot t}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}}[/math] [/center] [math]t'= \frac{x'}{c} = \frac{\frac{x}{c} - \frac{v}{c} \cdot t }{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{\frac{x}{c} - \frac{v}{c} \cdot \frac{x}{c} }{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}} [/math] und damit [br][center][math] \mathbf{t'=\frac{t - \frac{v}{c^2} \cdot x }{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}} [/math] [/center][br][br][b]Damit sind die Koordinatentransformationen für die Lorentz-Transformation gefunden.[/b]