Théorème de Thalès - démonstrations
Exposé dynamique de la démonstration du [b]Théorème de Thalès[/b] et de sa réciproque.
Table of Contents
- Démonstration
- Hypothèses de départ
- Première partie
- Seconde partie
- Généralisation
- Enoncé
- Contraposée
- Enoncé et usage
- Réciproque
- Présentation
- Démonstration
- Remarque importante
- Enoncé et usage
Hypothèses de départ
Préambule
La démonstration du Théorème de Thalès présentée est la démonstration qu'en a fait [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide]Euclide[/url], un philosophe et mathématicien de la Grèce antique.[br][br]Elle est basée sur la comparaison d'aires de triangles.
Hypothèses de départ
On considère un triangle [math]ABC[/math] ni plat, ni réduit à un point, ce que nous traduisons par :[br][br]Soient [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] trois points non alignés deux à deux distincts.[br][br]Soient [math]D[/math] et [math]E[/math] des points tels que [math]D\in[AB)[/math], [math]E\in[AC)[/math] et [math](DE)\parallel(BC)[/math].[br][br]La situation est représentée ci-dessous.
Enoncé et usage
Contraposée du Théorème du Thalès
L'énoncé du Théorème de Thalès :[br][quote]Soient [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] trois points non-alignés deux à deux distincts.[br][br]Soit un point [math]M\in(AB)[/math] différent de [math]A[/math].[br]Soit le point [math]N\in(AC)[/math] tel que [math](MN)\parallel(BC)[/math].[br][br]Nous avons :[br][br][math]\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{NA}{CA}[/math][/quote][br][br]Est équivalent, d'un point de vue logique, à sa contraposée :[br][br][quote]Soient [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] trois points non-alignés deux à deux distincts.[br][br]Soit un point [math]M\in(AB)[/math] différent de [math]A[/math].[br]Soit le point [math]N\in(AC)[/math] différent de [math]A[/math].[br][br]Si nous avons :[br][br][math]\begin{cases}\frac{AM}{AB}\neq\frac{AN}{AC}\\\text{ou}\\\frac{AM}{AB}\neq\frac{MN}{BC}\\\text{ou}\\\frac{AM}{AC}\neq\frac{MN}{BC}\\\end{cases}[/math][br][br]Alors [math]\left(BC\right)[/math] et [math]\left(MN\right)[/math] ne sont pas parallèles.[/quote]
Usage
La contraposée du Théorème de Thalès permet démontrer, si l'on connait les longueurs des cotés des triangles correspondants, que des droites [u]ne sont pas parallèles[/u].
Présentation
Soient trois points [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] non alignés et deux à deux distincts.[br][br]Soit [math]M\in(AB)[/math] et [math]N\in(AC)[/math] tels que les points [math]A[/math], [math]B[/math], [math]M[/math] et [math]A[/math], [math]C[/math], [math]N[/math] soient alignés dans le même ordre.
Il s'agit de prouver que :[br][br][quote]Si nous avons deux triangles [math]ABC[/math] et [math]AMN[/math] tels que :[br][br][math]M\in(AB)[/math] et [math]N\in(AC)[/math][br][math]A[/math], [math]B[/math], [math]M[/math] sont alignés dans le même ordre que les points [math]A[/math], [math]C[/math], [math]N[/math][br][math]\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}[/math][br][br]Alors [math](BC)\parallel(MN)[/math][/quote]