Nimmt man den Luftwiderstand eines Körpers mit Masse m proportional zur Geschwindigkeit v in der Form der [b]Stokeschen Reibung [math]F_R=6\pi\cdot\eta\cdot r\cdot v[/math] [/b]( [math]\eta[/math] Viskosität der Luft, r Radius der Kugel, v Geschwindigkeit) an, so erhält man als Differentialgleichung[center] [math]m\cdot \ddot \vec{r} = -k_1 \cdot \dot \vec{r} - m \cdot \vec{g} [/math], [/center][left]wobei [math]\vec{r}(t)=\binom{x\left(t\right)}{y\left(t\right)}[/math], [math]k_1 = 6\pi\cdot\eta\cdot r\cdot v[/math] und [math]\vec{g} =\binom{0}{g}[/math] sind.[/left][br]Diese Differentialgleichung kann auch in Komponentenschreibweise angeschrieben werden[br][center][math]m\cdot \ddot x=-k_1\cdot \dot x[/math][/center][center][math]m\cdot \ddot y=-k_1\cdot \dot y - m\cdot g[/math][/center][br]Mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0, y(0) = h, [math]\dot x\left(0\right)=v_0\cdot cos\left(\alpha\right)[/math] und [math]\dot y\left(0\right)=v_0\cdot sin\left(\alpha\right)[/math] findet  man die [b]exakte Lösung[/b][br][br][center][math]x\left(t\right)=\frac{m\cdot v_0\cdot cos\left(\alpha\right)}{k_1}\cdot\left(1-e^{-\frac{k_1}{m}\cdot t}\right)[/math] , [math]y\left(t\right)=h+\frac{m}{k_1}\cdot\left(v_0\cdot sin\left(\alpha\right)+\frac{mg}{k_1}\right)\cdot\left(1-e^{-\frac{k_1}{m}\cdot t}\right)-\frac{mg}{k_1}\cdot t[/math][/center] [br]

Etwas komplizierter ist der Fall bei der Annahme eines Luftwiderstands, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Diese [b]Newton-Reibung[/b] tritt beispielsweise bei Luftströmungen mit Turbulenzen auf. [br][br]In diesem Fall lässt sich der Luftwiderstand durch[br] [center][math]F_R=c_w\cdot\frac{A\cdot\rho\cdot v^2}{2}[/math] [/center](c[sub]w[/sub] Widerstandsbeiwert; A Querschnittsfläche, [math]\rho[/math] Dichte der Luft, v Geschwindigkeit) beschreiben.[br][br]Die Differentialgleichung  für die Bewegung eines Körpers lautet unter dieser Annahme[br][br][center][math]m\cdot \ddot \vec{r} = -k_2 \cdot r \cdot \dot \vec{r} - m \cdot \vec{g} [/math] [/center]und in Komponentenschreibweise[br][center][br][math]m\cdot \ddot x = -k_2\cdot \dot x \cdot\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}[/math][br][math]m\cdot \ddot y = -k_2\cdot \dot y \cdot\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2} - m \cdot g[/math][br][/center]Leider ist dies ein System von nichtlinearen und gekoppelten Differentialgleichung, das analytisch nicht lösbar ist. Eine numerische Berechnung kann z. B. mittels eines Runge-Kutta-Verfahrens durchgeführt werden.[br]Eine [b]Lösung[/b] wird [b]möglich[/b], wenn man das vereinfachte Differentialgleichungssystem verwendet[br][br][br][center] [math]m\cdot \ddot x = -k_2\cdot \dot x^2[/math][/center][center][/center][center][math]m\cdot \ddot y = \left\{ \begin{matrix}[br] -k_2 \cdot \dot y^2 - m \cdot g & aufsteigend \\[br] +k_2 \cdot \dot y^2 - m \cdot g & absteigend \\[br] \end{matrix} \right. [/math][/center][br]Die Lösung für dieses Problem kann analytisch gefunden werden und ist im Applet >>Schiefer Wurf mit Reibung verwendet worden.[br][br]Für den aufsteigenden bzw. absteigenden Teil der Flugbahn müssen zwei verschiedene Terme zur Berechnung der Koordinaten herangezogen werden. Aus diesem Grund erscheinen in der Animation die beiden Punkte R (aufsteigender Teil) und S (absteigender Teil).[br][br]Die Lösung lautet mit der Abkürzung [math]c=arctan\left(\sqrt{\frac{k_2}{m\cdot g}}\cdot v_0\cdot sin\left(\alpha\right)\right)[/math] und der Steigzeit [math]t_s=\sqrt{\frac{m}{k_2\cdot g}}\cdot c[/math] [br][br][math]x\left(t\right)=\frac{m}{k_2}\cdot ln\left(\frac{k_2\cdot v_0\cdot cos\left(\alpha\right)}{m}\cdot t+1\right)[/math][br][math]y\left(t\right)= \left\{ \begin{matrix}[br]\frac{m}{k_2}\cdot\left(ln\left(cos\left(\sqrt{\frac{k_2\cdot g}{m}}\cdot t-c\right)\right)-ln\left(cos\left(c\right)\right)\right) & \text{aufsteigend } 0 \le t \le t_s\\[br]\frac{m}{k_2}\cdot\left(-ln\left(cosh\left(\sqrt{\frac{k_2\cdot g}{m}}\cdot t-c\right)\right)-ln\left(cos\left(c\right)\right)\right) & \text{absteigend }t_s < t \\[br] \end{matrix} \right. [/math][br][br]