Due angoli si dicono [b]opposti al vertice[/b] se stanno in una relazione ben precisa, cioè [b]se i lati di uno si ottengono prolungando i lati dell'altro[/b] dalla parte opposta rispetto al vertice (anche perché essendo semirette dall'altra parte sono già infiniti... ;) )[br][br]Questo ci dice che le coppie formate da un lato e dal prolungamento sono allineate tra loro, cioè formano 180°. È essenziale [b]saper tradurre una informazione visiva ("si ottengono prolungando") in una caratteristica quantitativa (la loro somma vale 180°)[/b]. Si basa su questo il primo teorema che vediamo, che dimostra che due angoli opposti al vertice sono congruenti. 

L'espressione "[b]differenza di elementi congruenti[/b]" (o "[b]somma di elementi congruenti[/b]") è molto usata nei teoremi. Significa che se gli elementi che stiamo studiando (angoli, segmenti, etc.) si ottengono facendo la sottrazione (o la somma) di due oggetti uguali tra loro, allora anche loro risultano per forza uguali. Nel nostro caso [math]\alpha[/math] risulta uguale alla differenza [math]180°- \beta[/math], [b]ma anche [math]\alpha'[/math] è pari alla stessa differenza[/b], quindi i due angoli hanno uguali misura (e quindi sono congruenti, cioè si possono sovrapporre punto per punto).[br][br]Nel nostro caso avremmo potuto anche dire che [math]\alpha\ e\ \alpha '[/math] sono congruenti perché [b]supplementari dello stesso angolo[/b], infatti ad entrambi se sommiamo [math]\beta[/math] otteniamo come risultato 180°.

Il primo criterio di congruenza afferma che se in due triangoli sono congruenti [br]- [b]DUE LATI [/b][br]- [b]L'ANGOLO COMPRESO TRA ESSI [/b][br]allora i due triangoli sono congruenti, cioè è possibile sovrapporli punto per punto con spostamenti rigidi.[br][br]Nella dimostrazione interattiva qui sotto vedremo appunto che sovrapponendo uno alla volta gli elementi congruenti riusciamo a dimostrare che i due triangoli finiscono per coincidere.

È necessario prestare attenzione ai requisiti posti dal teorema: dati due lati congruenti non basta che sia congruente un angolo QUALSIASI: è necessario che lo sia proprio quello compreso tra i due lati. [br]Vediamo nell'animazione qui sotto che scegliendo due lati ed un angolo diverso da quello incluso tra i due lati non è più garantito che i due triangoli siano congruenti, e quindi il teorema non funziona.

L'asse di un segmento è quella retta perpendicolare ad esso che passa per il suo punto medio. [br][br][b]Tutti i punti dell'asse condividono una proprietà, costituiscono quindi un [/b][i][color=#ff0000]luogo geometrico[/color]. [br][br][/i][b][color=#ff0000]Un luogo geometrico è un insieme di punti che hanno una stessa proprietà in comune[/color][/b]. L'esempio più semplice di luogo geometrico è la [b]circonferenza: la proprietà che hanno in comune i suoi punti è che hanno tutti la stessa distanza da un determinato punto, detto "centro"[/b] della circonferenza (mentre la misura di tale distanza è chiamata "raggio").

La proprietà che hanno in comune i punti dell'asse di un segmento è che [b]sono tutti equidistanti dai due estremi del segmento[/b] (cioè la loro distanza da uno degli estremi è sempre uguale alla distanza dall'altro). Chiariamo il concetto nell'animazione qui sotto.

[size=85][color=#ff0000]La retta rossa[/color] è l'asse del segmento AB. [math]P[/math] e [math]P'[/math] sono due punti dell'asse, e puoi vedere che per entrambi la distanza da [math]A[/math] è congruente alla distanza da [math]B[/math].[br][br][color=#38761d]Puoi anche trascinare il punto P lungo l'asse e vedere che le due distanze da [/color][math]A[/math][color=#38761d] e da [/color][math]B[/math][color=#38761d] restano identiche.[/color][/size]

Vediamo la dimostrazione di questa proprietà, attraverso un teorema. [br][br]Fai attenzione a due aspetti importanti: [br][list=1][*]se [b]segni sul disegno tutte le informazioni di cui sei in possesso[/b] (ad esempio marchi con lo stesso simbolo due elementi congruenti) è più facile che tu riesca a sfruttarle per i tuoi ragionamenti.[br][/*][*][b]parti da quello che conosci[/b]: dato che conosciamo solo i criteri di congruenza dei [b]triangoli,[/b] molto spesso le nostre dimostrazioni passeranno attraverso il confronto di triangoli. Quindi cerca nel tuo disegno i triangoli che ti sembrano congruenti... ;)[/*][/list]

[color=#ff0000][size=100][size=150]VALE IL TEOREMA INVERSO?[/size][br][/size][/color]Abbiamo dimostrato che SE un punto appartiene all'asse di un segmento ALLORA è equidistante dai due estremi.[br][br][b]Vale anche l'implicazione opposta?[/b]

Ricordiamo che una implicazione SE... ALLORA [b][color=#ff0000]NON[/color][/b] implica necessariamente anche la sua inversa sia valida, come mostra questo semplice esempio.

(puoi ripassare il concetto di implicazione in modo più dettagliato nel paragrafo contenuto dopo la dimostrazione di [url=https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/HSgYs3F0]questa pagina[/url])[br][br]Possiamo dire di sì. Infatti:[br][list=1][*]se [math]AC\cong BC[/math] allora [b][color=#ff0000]unendo C ad A ed a B otteniamo un triangolo isoscele[/color][/b][/*][*][b][color=#ff0000]se ABC è isoscele, la altezza, la mediana e la bisettrice relative alla base coincidono[/color][/b] (lo abbiamo dimostrato nei corollari sulle proprietà dei triangoli isosceli, che trovi in [url=https://tube.geogebra.org/book/title/id/301483#material/653179]questa pagina[/url]). [/*][*]Quindi se disegniamo l'altezza CH che passa per C essa è anche mediana, e di conseguenza è l'asse di AB (è [u]perpendicolare[/u] ad AB perchè altezza e [u]passa per il punto medio[/u] perché è mediana), [/*][*]quindi C appartiene all'asse di AB. [b][color=#ff0000]C.V.D.[/color][/b][/*][/list][b][color=#0000ff]Un altro modo per dimostrare il teorema inverso è quello mostrato nella seguente animazione[/color][/b]

Se nella costruzione invece di tracciare la retta che passa per il punto medio fossimo partiti dall'altra caratteristica dell'asse, cioè che è perpendicolare al segmento, saremmo riusciti a dimostrare che i due triangoli così ottenuti erano congruenti? Perché?[br][br]Fai il disegno e prova a rispondere.

[size=150][color=#0000ff]LA NOMENCLATURA DEGLI ANGOLI TRA RETTE PARALLELE[/color][/size][br]Una proprietà molto importante che si ha ogni volta che si considerano delle rette parallele è la relazione tra gli angoli che esse formano con una qualsiasi retta obliqua che le taglia.[br][br]Nella figura sotto si vede che si formano due gruppi di quattro angoli (un gruppo per ogni retta parallela). Nel disegno i quattro angoli formati con la retta più in alto sono chiamati [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math], [math]\gamma[/math]e [math]\delta[/math] (sono le lettere alfa, beta, gamma e delta [i]minuscole[/i] dell'alfabeto greco). Gli angoli formati con la retta più in basso sono chiamati [math]\alpha'[/math], [math]\beta'[/math], [math]\gamma'[/math]e [math]\delta'[/math].[br][br]

Dato che abbiamo otto angoli in tutto, [b]si possono considerare molte coppie di angoli diversi, ognuna delle quali gode di una certa proprietà: è quindi necessario DARE DEI [u]NOMI[/u] A QUESTE COPPIE DI ANGOLI in modo da non fare confusione[/b].[br][br][size=100][b]GLI ANGOLI CORRISPONDENTI[/b][/size][br]Le coppie di angoli a cui abbiamo dato nomi simili, cioè quelli che sono formati dalle semirette corrispondenti in alto ed in basso, sono detto appunto [b]corrispondenti[/b]. Ad esempio [math]\alpha[/math] e [math]\alpha'[/math] sono due angoli corrispondenti, così come [math]\beta[/math] e [math]\beta'[/math], etc...[br][br][size=100][b]ALTRE COPPIE DI ANGOLI[/b][/size][br]Vengono definiti altri nomi per altre coppie di angoli, in particolare due angoli si dicono:[br][list=1][*][b][color=#ff0000]interni[/color][/b] se sono interni alla fascia definita dalle due rette parallele, [b][color=#ff0000]esterni [/color][/b]se sono posizionati esterni ad essa.[/*][*][b][color=#0000ff]alterni[/color][/b] se uno è dalla parte opposta dell'altro rispetto alla retta obliqua, [b][color=#0000ff]coniugati[/color][/b] se sono dalla stessa parte rispetto alla retta obliqua.[br][/*][/list][br]Avremo quindi che ad esempio gli angoli [math]\beta[/math] e [math]\gamma'[/math] sono [color=#0000ff][b]alterni[/b][/color] [color=#ff0000][b]esterni[/b][/color], perchè sono da due parti opposte rispetto alle rette oblique ([b][color=#0000ff]alterni[/color][/b]) e sono all'[color=#ff0000][b]esterno[/b][/color] della fascia delle rette parallele. L'altra coppia di angoli alterni esterni è formata dagli angoli [math]\alpha[/math] e [math]\gamma'[/math]. [br][br]Gli angoli [math]\gamma[/math] e [math]\alpha'[/math] sono invece [color=#0000ff][b]coniugati[/b][/color] (dalla stessa parte rispetto alla retta obliqua) [color=#ff0000][b]interni[/b][/color] (all'interno della fascia). E così via.[br][br]Cerca di individuare le varie coppie di angoli nella figura sotto. Muovendo gli interruttori puoi ricreare tutte le combinazioni e verificare le tue ipotesi.

[size=150][color=#0000ff]LE RELAZIONI TRA LE COPPIE DI ANGOLI[br][/color][/size]Le coppie di angoli individuate dalla nomenclatura che abbiamo definito stanno sempre in certe relazioni particolari, che permettono di dedurre proprietà interessanti delle figure che li contengono.[br][b][color=#ff0000]NOTA: [/color][/b]per "coppia" intendiamo due angoli adiacenti ognuno ad una diversa delle due rette parallele (uno "in alto" ed uno "in basso", o se preferisci uno con il simbolo di ' ed uno senza.). Questo perché le relazioni tra gli angoli nello stesso incrocio (ad esempio [math]\large{\alpha}[/math] e [math]\large{\beta}[/math]) sono già note (sono opposti oppure adiacenti) e non interessanti rispetto al fatto di avere due rette parallele. [br][br]La proprietà fondamentale è questa: [b][color=#ff0000]due angoli alterni (non importa se interni o esterni) sono sempre congruenti tra loro[/color][/b]. Ad esempio [math]\large{\alpha ' \cong \gamma}[/math] (alterni interni)[br][br]Da questa derivano le altre relazioni, che puoi dimostrare facilmente da sola/o sfruttando gli angoli opposti al vertice ed adiacenti:[br][list=1][*][b]due angoli coniugati sono sempre supplementari tra loro[/b].[b] [/b]Ad esempio [math]\large{\alpha ' }[/math] e [math]\large{\delta}[/math] sono supplementari[/*][*][b]due angoli corrispondenti sono sempre congruenti tra loro[/b]. Ad esempio [math]\large{\alpha \cong \alpha '}[/math][/*][/list][br][size=150][color=#0000ff]IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE E LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE[/color][/size][b][br]La proprietà fondamentale che abbiamo enunciato non può essere dimostrata, perché in realtà si tratta di un assioma, o postulato[/b], cioè di un dato di partenza che [i]assumiamo[/i] essere vero perché corrisponde a quello che percepiamo nella realtà. Infatti questa relazione (o per essere più precisi la relazione 1. che come tu stessa/o hai dimostrato è strettamente collegata ad essa) [b]è equivalente a dire che due rette parallele non si incontrano in nessun punto[/b]. Questa affermazione ci sembra naturale ed indiscutibile, ma in realtà non siamo in grado di escludere che due rette parallele non si incontrino in un qualche punto infinitamente lontano, proprio perché per definizione non possiamo verificare cosa succede "infinitamente lontano".[br][br]È possibile fare scelte diverse da questo postulato, noto come [b]quinto postulato di Euclide[/b], e costruire delle [b]geometrie[/b] dette [b]"non euclidee"[/b], chiamate così perché alternative a quella costruita dall'antico studioso greco, che si attenne alla geometria corrispondente al suo postulato ed alla percezione comune della realtà - percezione limitata al contesto in cui viviamo, cioè un contesto finito e piuttosto limitato: come abbiamo detto non siamo in grado di verificare cosa succede "infinitamente lontano" (e se le rette lì si incontrano o no), semplicemente perché non ci siamo mai stati. Non a caso le geometrie non euclidee hanno un'applicazione pratica nel [b]cercare di capire su quali leggi geometriche sia strutturato l'universo [/b]- lui sì che si occupa di dimensioni "infinitamente lontane"!

Una parte importante delle proprietà di una circonferenza riguardano gli angoli che si possono costruire su di essa e le loro proprietà. Vediamo alcune definizioni ed una proprietà fondamentale, nella prossima animazione.

Riassumendo, il teorema appena visto ci garantisce che:[br][list][*][b]un angolo alla circonferenza è sempre pari alla metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco[/b].[/*][*]ne consegue che [b]tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali[/b] (sono la metà dello stesso angolo al centro)[br][/*][/list][br][b][color=#ff0000]Vogliamo utilizzare questa proprietà per studiare le proprietà dei triangoli, ed in particolare dei loro angoli[/color][/b].[br][br][b][color=#ff0000]Ma cosa centrano i triangoli con le circonferenze?[/color][/b] Lo vediamo nel prossimo paragrafo.[br][br][size=150][color=#0000ff][b]TUTTI I TRIANGOLI SONO INSCRIVIBILI IN UNA CIRCONFERENZA[/b][/color][/size][b][br]Dimostriamo allora che qualsiasi triangolo può sempre essere circoscritto in una circonferenza[/b], ovvero che esiste sempre una circonferenza che passa per i suoi tre vertici.

La dimostrazione è articolata in due parti[br][br][list=1][*]Conosciamo già l'elemento più importante della dimostrazione: é [b][color=#ff0000]l'[/color][/b][b][color=#ff0000]asse di un segmento, i cui punti come sappiamo sono equidistanti dagli estremi del segmento [/color][/b](questo dovrebbe ricordarci molto la circonferenza, perché anche i suoi punti sono tutti equidistanti, in questo caso dal centro della circonferenza stessa). [br]L'asse di un segmento è stato uno dei primi luoghi geometrici che abbiamo studiato, e prima di proseguire [color=#ff0000][b]puoi ripassarlo a questo indirizzo:[/b][/color] [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/UaK8Sc8t]https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/UaK8Sc8t[/url][br][br][/color][/*][*]A questo punto [color=#ff0000][b]dobbiamo dimostrare che gli assi di un triangolo (cioè dei suoi tre lati) si incontrano sempre tutti nello stesso punto[/b][/color]; lo puoi vedere qui: [url=https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/TzB6iWKp][color=#0000ff]https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/TzB6iWKp[/color][/url]; in questa stessa dimostrazione viene detto e spiegato che tale punto di incontro si chiama CIRCOCENTRO, proprio perchè è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. [/*][/list][br][b][color=#ff0000]Abbiamo quindi dimostrato che ogni triangolo, avendo un circocentro, può essere inscritto in una circonferenza.[/color][/b] [size=100][size=150][color=#ff0000][b]C.V.D.[/b][/color][/size][/size] [br][br][b][size=150][color=#0000ff]I TRIANGOLI INSCRITTI IN UNA SEMICIRCONFERENZA SONO RETTANGOLI[/color][/size][/b][br]A questo punto vediamo un'ultima proprietà piuttosto curiosa: [color=#ff0000][b]tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza sono rettangoli.[/b][/color] Lo dimostriamo nell'animazione qui sotto.[br]

Questa importantissima proprietà è essenziale per dimostrare una legge fondamentale della trigonometria, detta [b][color=#ff0000]"teorema dei seni"[/color][/b]. Proseguiamo quindi il discorso nel geogebra book dedicato alle funzioni trascendenti, ed in particolare al capitolo sulle relazioni goniometriche e trigonometriche avanzate, in questa pagina: [br][url=https://www.geogebra.org/m/XJmWSY7D]https://www.geogebra.org/m/XJmWSY7D[/url]