7. VG Lage von Geraden

1.

Überprüfen Sie folgende Aussagen

Wenn zwei Geraden im dreidimensionalen Raum nicht parallel sind, besitzen Sie einen gemeinsamen Schnittpunkt. Wenn zwei Geraden im dreidimensionalen Raum nicht parallel sind, müssen sie nicht zwangsläufig einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Wenn zwei Geraden im dreidimensionalen Raum parallel sind, kann man den Richtungsvektor der einen Geraden durch eine Multiplikation mit einer Zahl in den Richtungsvektor der zweiten Geraden überführen. zwei Geradem haben entweder keinen oder einen oder unendlich viele gemeinsame Punkte zwei Geraden haben entweder keinen oder einen oder zwei gemeinsame Punkt [math]g_1:a^{\rightharpoonup}_{1_{ }}+s\cdot v_1^{\longrightarrow}[/math] und [math]g_2:a^{\rightharpoonup}_{2_{ }}+s\cdot v^{_{_{_2}}\longrightarrow}[/math][br]g[sub]1[/sub]||g[sub]2[/sub] dann gilt: v[sub]1[/sub]=r v[sub]2[/sub]; r ist einen reele Zahl zwei Geraden haben entweder keinen oder einen gemeinsamen Punkt

2. Berechnen

Die gegenseitige Lage der beiden Geraden soll untersucht werden:[br][math]g_1:\left(\begin{matrix}-2\\-3\\-1\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}3\\3\\4\end{matrix}\right)[/math] [br][math]g_2:\left(\begin{matrix}2\\4\\1\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}-1\\-4\\2\end{matrix}\right)[/math][br] Welches der aufgestellten Gleichungssysteme passt dazu?

[math]\left(\begin{matrix}\begin{matrix}0\\3\\4\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}3\\4\\2\end{matrix}\begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix}\begin{matrix}3\\-1\\3\end{matrix}\right)[/math] kein Gleichungssystem stimmt. [math]\left(\begin{matrix}3\\3\\4\end{matrix}\begin{matrix}1\\4\\-2\end{matrix}\begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix}\begin{matrix}4\\-1\\3\end{matrix}\right)[/math] [math]\left(\begin{matrix}0\\3\\4\end{matrix}\begin{matrix}3\\4\\2\end{matrix}\begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix}\begin{matrix}3\\7\\2\end{matrix}\right)[/math]

3. Berechnungsschritt 3

Zur Überprüfung der gegenseitigen Lage zweier Geraden wurde ein Gleichungssystem aufgestellt und umgeformt.[br][math]\left(\begin{matrix}5\\2\\0\end{matrix}\begin{matrix}1\\4\\3\end{matrix}\begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix}\begin{matrix}4\\9\\6\end{matrix}\right)[/math][br][br]Welche der folgenden Aussagen lassen sich daraus ableiten

r= 2 und s=0.5 aber 5*0,5+1*2= 4,5 und nicht 4, also haben die Geraden keinen gemeinsamen Punkt. weil r = 2 und s= 0.5 ist haben die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkte, - eben den Schnittpunkt. r= 2 und s=0.5 aber 5*0,5+1*2= 4,5 und nicht 4 ausserdem sind die Vektoren [br][math]\left(\begin{matrix}5\\2\\0\end{matrix}\right);\left(\begin{matrix}1\\4\\3\end{matrix}\right)[/math] linear unabhängig. [br]Deshalb liegen die Geraden windschief zueinader.

4. Berechnung

Zur Überprüfung der gegenseiteige Lage der beiden Geraden[br][math]g_{1_{ }}:x^{\rightharpoonup}=\left(\begin{matrix}1\\3\\-1\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\4\end{matrix}\right)[/math][br][br][math]g_2:x^{\rightharpoonup}=\left(\begin{matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}8\\8\\20\end{matrix}\right)[/math][br][br]wurde die Matrix aufgestellt und umgeformt. 2. Zeile (-2) + 1. Zeile[br][br][math]\left(\begin{matrix}0\\1\\4\end{matrix}\begin{matrix}8\\-8\\-20\end{matrix}\begin{matrix}\mid\\\mid\\\mid\end{matrix}\begin{matrix}4\\-1\\2\end{matrix}\right)[/math]

also ist s=0.5 und r=3 es gibt kein r und s so dass es für alle drei Gleichungen stimmt. also ist s=2 und r=1

5 Berechnung

Die gegenseitigen Lage der beiden Geraden wird überprüft[br][br][math]g_{1_{ }}:x^{\rightharpoonup}=\left(\begin{matrix}1\\3\\-1\end{matrix}\right)+r\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\4\end{matrix}\right)[/math] [br][math]g_{2_{ }}:x^{\rightharpoonup}=\left(\begin{matrix}1\\3\\6\end{matrix}\right)+s\left(\begin{matrix}-4\\-2\\-8\end{matrix}\right)[/math][br][br]welche der folgenden Aussagen sind richtig?

[math]\left(\begin{matrix}2\\1\\4\end{matrix}\begin{matrix}4\\2\\8\end{matrix}\begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix}\begin{matrix}0\\0\\7\end{matrix}\right)[/math] also gibt es einen gemeinsamen Punkt weil [math]\left(\begin{matrix}0\\1\\4\end{matrix}\begin{matrix}4\\2\\8\end{matrix}\begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix}\begin{matrix}7\\0\\7\end{matrix}\right)[/math] sind die beiden Geraden entweder identisch oder parallel. die umgeformte Matrix hat folgende Gestalt:[br][br][math]\left(\begin{matrix}0\\1\\4\end{matrix}\begin{matrix}0\\2\\8\end{matrix}\begin{matrix}\mid\\\mid\\\mid\end{matrix}\begin{matrix}0\\0\\7\end{matrix}\right)[/math] (nach Umformung) also gibt es keinen gemeinsamen Punkt und die Geraden sind parallel.[br] die beiden Geraden sind windschief.

7. VG Lage von Geraden

1.

2. Berechnen

3. Berechnungsschritt 3

4. Berechnung

5 Berechnung

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