Die Exponentialfunktion

Aufgabe 1. Untersuchung der Standard-Exponentialfunktion

[b]Aufgabe[/b][br]Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion y=b^x für verschiedene Wachstumswerte b

Monotonieverhalten (Teil 1)

Wie ändert sich das Monotonieverhalten von f(x)=b^x in Abhängigkeit vom Wachstumsfaktor b?

Wenn 0<b<1 ist f monoton fallend Wenn b>1 ist f monoton fallend Wenn 0<b<1 ist f monoton steigend Wenn b>1 ist f monoton steigend

Asymptotisches Verhalten

Welche Asymptote besitzen alle Exponentialfunktionen?

Die Achse x=0 Keine. Der Graph besitzt keine Asymptoten Die Achse y=0 Die Gerade y=1

Sonderfall

Welcher Graph ergibt sich für b=0?

Der Nullgraph Eine konstante Funktion x=0 Die Funktion y=x Die konstante Funktion y=1

Definitionsbereich der Funktion f(x)=0^x

Welchen Definitionsbereich hat die Funktion f(x)=0^x? Prüfe auch mit dem Taschenrechner nach!

D=IR D=IR\{1} D=IR\{0}

Aufgabe 2. Welche Werte sind für den Wachstumsfaktor erlaubt?

Das obige Applet lässt für b nur nicht-negative Werte zu. Warum?[br][br]Der Grund liegt daran, dass Potenzen der Form [math]b^x[/math] für alle x definiert sind, wenn die Basis b nicht negativ ist. Das ist für negative Basen nicht uneingeschränkt richtig.[br][br]Beispiel: (-1)^0 = 1 ; (-1)^1 = -1 ; (-1)² = 1 ; (-1)^3 = -1. sind wohldefinierte Potenzen[br][math]\left(-1\right)^{0,5}[/math] = √-1 ist im reellen Zahlenbereich kein definierter Ausdruck

Definierte Exponentialfunktionen

Welche Funktion ist definiert?

[math]f\left(x\right)=-2^x[/math] [math]f\left(x\right)=\left(-2\right)^x[/math] [math]f\left(x\right)=2^{-x}[/math] [math]f\left(x\right)=\left(2^{-1}\right)^x[/math]

Aufgabe 3. Abhängigkeit von Vorfaktor und Wachstumsfaktor

Untersuche den Graphen in Abhängigkeit der Formkonstanten a und b

Wie muss ich die Parameter a und b verändern, damit die Exponentialfunktion monoton steigend ist?

a > 0 und b > 1 a < 0 und b < 1 a < 0 und b > 1 a > 0 und b < 1

Setze den Startwert auf 2. Wie muss der Wachstumsfaktor b gesetzt werden, so dass f(2)=4 ein Funktionswert ist?

b= 2 b=1/2 b≈1/1.41 b≈1,41

Aufgabe 4. Symmetrische Graphen

Vergleiche die Schaubilder. Was stellst du fest:[br] für [math]b_1[/math] = 2 und [math]b_2[/math] = 0,5[br] für [math]b_1[/math]= 4 und [math]b_2[/math]= 0,25[br] für [math]b_1[/math] = 0,2 und [math]b_2[/math] = 5

Die Graphen sind zueinander spiegelsymmetrisch zur x-Achse Die Graphen sind zueinander spiegelsymmetrisch zur y-Achse Die Graphen sind punktssymmetrisch Die Graphen sind zueinander spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonale

Graphen-Applet

Eigenschaften

Notiere in Deinem Heft:[br][br]Die Exponentialfunktion ist positiv für ... [br][br]Die Exponentialfunktion ist negativ für ... [br][br]Die Exponentialfunktion nimmt den Wert Null an ...[br][br][br]Wähle bei den folgenden Aufgaben a=1 fest:[br][br]Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend für ... [br][br]Die Exponentialfunktion ist streng monoton fallend für ... [br][br]Die Exponentialfunktion ist rechtsgekrümmt für ... [br][br]Die Exponentialfunktion ist linksgekrümmt für ... [br][br]

Alles klar

Hast du noch FRagen?

nein, im Moment nicht ja

Schlussfragen:

Wie müsste eine Funktionsterm lauten, wenn das Schaubild um 4 Einheiten nach unten (in y-Richtung) verschoben wäre?[br]Wie müsste eine Funktionsterm lauten, wenn das Schaubild um 2 Einheiten nach links (in X-Richtung) verschoben wäre?