Vectors
Vectors 1-Batxillerat
Table of Contents
- Definicions
- Definició i característiques d'un vector
- Vectors fixos, iguals o equipol·lents i lliures
- Operacions amb vectors
- Producte d'un vector per un nombre
- Suma i resta de vectors
- Combinació lineal de vectors
- Base
- Base i coordenades d'un vector respecte d'una base
- Operacions amb coordenades
- Producte d'un vector per un nombre: coordenades
- Suma i resta de vectors: coordenades
- Combinació lineal de vectors: coordenades
- Producte escalar de vectors
- Interpretació geomètrica del producte escalar
- Producte escalar: calculadora gràfica
- Producte escalar de dos vectors al pla: representació gràfica
- Eines
- Plantilla ortogonal
Definició i característiques d'un vector
Un vector [math]\vec{AB}[/math] és un [b]segment orientat[/b] que té un [b]origen[/b] en A el punt i un [b]extrem[/b] en el punt B.[br][br]Les seves característiques són el [b]mòdul[/b], la [b]direcció[/b] i el [b]sentit[/b].
Producte d'un vector per un nombre
[b]u[/b] (en blau) és un vector.[b][br][br]k[/b] és un [i][b]escalar[/b][/i] (és a dir, un nombre) que multiplicam pel vector [b]u[/b]. Pots canviar el valor de [b]k[/b] amb el control lliscant.[br][br][b]v[/b] (en vermell) és el vector resultant d'aquesta multiplicació. Per tant, [math]\vec{v}=k·\vec{u}[/math].[br][br]Si comparem els vectors [b]u[/b] i[b] v[/b]:[br][br][list][*]Què passa quan [b]k és positiu[/b]?[br][/*][*]Què passa quan [b]k és negatiu[/b]?[/*][*]En què afecta el resultat el mòdul (valor absolut) de [b]k[/b]?[/*][/list]
Base i coordenades d'un vector respecte d'una base
Si tenim dos vectors qualssevol [math]\vec{x}[/math] i [math]\vec{y}[/math] que tinguin direccions diferents, podem fer combinacions lineals amb ells i aconseguir qualsevol altre vector [math]\vec{v}[/math] del pla. Per aquest motiu, aquests dos vectors es poden considerar [b]base[/b] i ho expressam així: [b][i]B[/i]([/b][math]\vec{x}[/math][b],[/b][math]\vec{y}[/math][b])[/b].[br][br][math]\vec{v}=a\vec{x}+b\vec{y}[/math][br][br]Als escalars [i]a[/i] i [i]b[/i] se'ls anomena [b]coordenades[/b] de [math]\vec{v}[/math] respecte de la base [i]B[/i]. Podem expressar el vector [math]\vec{v}[/math] com:[br][br][math]\vec{v}[/math]=(a,b)[br]ó[br][math]\vec{v}[/math](a,b) (sense el signe igual)[br][br]Si els vectors de la base són perpendiculars entre si, es diu que formen una [b]base ortogonal[/b]. Si, a més a més, aquests vectors tenen mòdul 1, es diu que formen una [b]base ortonormal[/b].
Modifica els vectors base u i v (en color verd) i després modifica el vector w (en lila). Finalment, troba els valors a i b (amb la barra lliscant) que generarien el vector w. Aquests valors a i b són les coordenades de w respecte de u i v
[b]Feu el següent :[/b][br][br][list][br][*]Definiu els vectors de la base u i v[br][*]Definiu el vector w[br][*]Moveu els paràmetres a i b fins aconseguir tenir w com a diagonal del paral·lelogram.[br][*]Comproveu que w és combinació lineal d' u i de v[br][*]Obriu els eixos i interpreteu el resultat[br][/list]
Producte d'un vector per un nombre: coordenades
Aquesta animació és idèntica a la que ja has vist a l'apartat [i]Operacions amb vectors[/i], però s'hi afegeixen els càlculs de coordenades.[br][br]Multiplicam el factor [i][b][size=150]k[/size][/b][/i] pel vector [color=#1155cc][b][size=150]u[/size][/b][/color]. Com a resultat, obtenim un nou vector, [color=#ff0000][b][size=150]v[/size][/b][/color].[br][br]Observa com les coordenades del nou vector [color=#ff0000][b][size=150]v[/size][/b][/color] són el resultat de mulitplicar el factor [i][b][size=150]k[/size][/b] per [/i]les coordenades del vector original [color=#1155cc][b][size=150]u[/size][/b][/color].
Interpretació geomètrica del producte escalar
Pots moure els extrems dels vectors a i b.[br]b' = vector projecció de b sobre a.[br]|b'| = projecció de b sobre a.
El valor absolut del producte escalar de dos vectors és igual al mòdul d'un d'ells per la projecció de l'altre sobre ell