[right][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b][i][color=#980000](21. 02. 2023)[br]Ka[/color][/i][color=#000000][i][color=#980000]pitel:[/color][/i] [i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/588654]Neue 6ck-Gewebe aus Kreisen[/url][/color][/u][/i][/color][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000][br][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Diese Seite ist auch eine Aktivität des[/color][/color][/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=50][size=50][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000] [color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netze[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=85][/size][/right][size=85][br]Die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden,[/color][/i][/b] zur [math]x[/math]-Achse [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] [math]cdb[/math] im Inneren der [b][i][color=#ff7700]Ellipse [/color][/i][/b]([b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]\pm1[/math])[br]können mit dem [b][i]Parameter[/i][/b] [math]t[/math] durch eine Gleichung beschrieben werden:[br][list][*][math]cdb[/math]: [math]\left(x-t\right)^2+y^2-\left(t^2-1\right)\cdot\left(1-s^2\right)=0[/math][/*][/list][math]t[/math] ist zugleich der [b][i][color=#0000ff]Mittelpunkt[/color][/i][/b]. [br]Setzt man in diese Gleichung die Koordinaten eines vorgegebenen [b][i][color=#1e84cc]Punktes[/color][/i][/b] [math]p_0[/math] ein, [br]so erhält man aus dieser quadratischen Gleichung die [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]Mittelpunkte[/color][/i][/b] der 2 [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] durch [math]p_0[/math].[br][br]Die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] können auf mindestens [b][color=#cc0000]2[/color][/b] Weisen konstruiert werden:[br][b][i][u][color=#cc0000]Konstruktion 1:[br][/color][/u][/i][/b]Schneiden sich ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [color=#ff0000][b]c[/b][/color] aus dem [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschel[/color][/i][/b] um die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f'[/color][/b] [br]und ein [b][i][color=#ff0000]Senkrechte[/color][/i][/b] [color=#ff0000][b]l[/b][/color] zur [math]x[/math]-Achse auf der [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b], so ist derjenige [b][i][color=#0000ff]Mittelkreis[/color][/i][/b] von [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]c[/color][/b] und [b][i][color=#ff0000]Gerade [/color][/i][color=#ff0000]l[/color][/b], [br]dessen [b][i][color=#0000ff]Mittelpunkt[/color][/i][/b] in der [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] liegt, ein [b][i][color=#999999]doppelt-berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b].[br]----> Ein "[b][i][color=#0000ff]Mittelkreis[/color][/i][/b]" zweier [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] ist ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b], an welchem [b][i][color=#f1c232]invertiert[/color][/i][/b] die beiden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color] [/i][/b]vertauscht werden.[br] [b][i][color=#ff0000]Geraden[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrisch[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] (durch [math]\infty[/math]).[br]Schneiden sich [b][color=#ff0000]c[/color][/b] und [b][color=#ff0000]l[/color][/b] auf der [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b], so besteht zwischen den [b][i][color=#980000]Schnittpunkten[/color][/i][/b] [b][color=#980000]t[/color][/b], [b][color=#980000]t'[/color][/b] von [b][color=#ff0000]c[/color][/b] mit der [math]x[/math]-Achse [br]und dem [b][i][color=#980000]Schnittpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#980000]t''[/color][/b] von [b][color=#ff0000]l [/color][/b]mit der [math]x[/math]-Achse eine spezielle Beziehung: [b][i][color=#980000]t''[/color][/i][/b] entsteht durch [b][i][color=#f1c232]Spiegelung[/color][/i][/b] am[br][b][i][color=#ff7700]Haupt-Scheitelkreis[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] aus einem der [b][i][color=#980000]Schnittpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#980000]t[/color][/b], [b][color=#980000]t'[/color][/b].[br]Diese [b][i]reelle [/i][/b]Konstruktion liefert [b][i][color=#999999]doppelt-berührende[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] auch dann, wenn sich [b][color=#ff0000]c[/color][/b] und [b][color=#ff0000]l [/color][/b][i]nicht[/i] [b]reell[/b] auf der [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] schneiden![br][br]Mit dieser Konstruktion ergibt sich obige [b][i][color=#ff0000]Kreisgleichung[/color][/i][/b] [math]cdb[/math] für die [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b].[br]Damit werden die [b][color=#980000]2[/color][/b] [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] durch einen Punkt [b][color=#6d9eeb]p[sub]0[/sub][/color][/b] in [b][i][color=#ff7700]Ellipsen[/color][/i][/b]-Inneren berechnet.[br]Im Allgemeinen Falle können wir keine geometrische Idee zur Konstruktion diese [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] erkennen![br]Ist jedoch der [b][i][color=#38761D]Brennkreis[/color][/i][/b] um 0 durch [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f'[/color][/b] zugleich der [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreis[/color][/i][/b] durch [b][color=#ff7700]s[sub]y[/sub][/color][/b], so kann man eine einfache [br]Konstruktionsvorschrift für die [b][i][color=#0000ff]Mittelpunkte[/color][/i][/b] der beiden [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] durch [/size][size=85][b][color=#6d9eeb]p[sub]0[/sub][/color][/b][/size][size=85] ablesen![br][br][b][i][u][color=#cc0000]Konstruktion 2:[/color][/u][/i][/b][br][/size][size=85]Schneiden sich [b][i][color=#ff0000]konzentrische Kreise[/color][/i][/b] um die beiden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [/size][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f'[/color][/b] [/size][size=85]auf der [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b], so erhält man auf [br]ähnliche Weise die [/size][size=85][b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b][/size][size=85] als [/size][size=85][b][i][color=#0000ff]Mittelkreise[/color][/i][/b][/size][size=85].[br]Auch die oben geschilderte Beziehung zwischen den Achsenschnittpunkten der beiden kozentrischen [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] erkennt man, [br]gespiegelt wird allerdings jetzt an den [b][i][color=#999999]Scheitel-Tangenten[/color][/i][/b].[br][/size]

[size=85]Durch jeden [b][i][color=#1e84cc]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#3c78d8]p[/color][/b] im [b][i][color=#ff7700]Ellipsen[/color][/i][/b]-Inneren gehen [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#999999]doppelt-berührende[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] und ein [b][color=#cc0000]3[/color][/b].-ter [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85]: [br]der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] durch [b][color=#3c78d8]p[/color][/b] und die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b]. Diese [b][color=#cc0000]3[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis-Scharen[/color][/i][/b] erzeugen dann und nur dann ein[br][b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netz[/color][/i][/b] aus [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b], wenn der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] um den [b][i][color=#ff7700]Ellipsen-Mittelpunkt[/color][/i][/b] durch die [b][i][color=#ff7700]Brennpunkte[/color][/i][/b] zugleich[br]durch die [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] auf der [math]y[/math]-Achse geht ([b][i][color=#9900ff]Exzentrizität[/color][/i][/b] [math]\epsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math]).[br]Zur Konstruktion eines solchen [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netzes[/color][/i][/b] ist die Berechnung der [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] nützlich.[br][b][i][u][color=#0000ff]Links[/color][/u][/i][/b] zu diesen [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netzen[/color][/i][/b] aus [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b]: [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/nqt92fdp]FN (e) 6-Eck-Netz 2[/url][/color][/u][/i][/b] , [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/ms3b3ezs]Neues Ellipsen-Kreis-6-Eck[/url][/color][/u][/i][/b] .[/size]