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Sie können ein lineares Gleichungssystem als Linearkombination [math]\vec{f}=x \cdot \vec{r}+y \cdot \vec{g}+z \cdot \vec{b} [/math] auffassen.[br]Beispiel: [math]\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\8\\4\end{pmatrix}[/math], [math]\vec{g}=\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}[/math] und [math]\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\5\\1\end{pmatrix}[/math] für [math]\vec{f}=\begin{pmatrix}12\\24\\18\end{pmatrix}[/math][br]Zeilenweise interpretiert erhält man drei einzelne Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen:[br][math]x+3y+2z=12[/math][br][math]8x+4y+5z=24[/math][br][math]4x+6y+z=18[/math][br]Diese können Sie bereits auf verschiedene Arten rechnerisch lösen. [br]Hier lernen Sie eine graphische Lösung für lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten kennen.
Genau wie bei einem linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten im ebenen Koordinatensystem kann man ein LGS mit drei Unbekannten auch graphisch lösen im räumlichen Koordinatensystem.[br]Wie werden lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten im ebenen Koordinatensystem dargestellt und wie die Elemente der Lösungsmenge, falls diese nicht leer ist?
Geben Sie die drei o.a. Gleichungen (aus M3 AB III.1) in den nachfolgenden 3D-Rechner von GeoGebra ein und beschreiben Sie, wie die einzelnen Gleichungen graphisch dargestellt werden. Wo liegen im 3D-Koordinatensystem alle Lösungen, die gleichzeitig die erste und zweite Gleichung erfüllen?
[table][tr][td]1.[/td][td]Geben Sie die drei Gleichungen nacheinander in die Eingabezeile ein. [/td][/tr][br][tr][td]2.[/td][td]Berechnen Sie mit dem Befehl [code]Schnittpunkt(gl1,gl2)[/code] die Schnittmenge der Ebenen von [code]gl1[/code] und [code]gl2[/code]. Sofern sich die Ebenen schneiden, wird die Schnittmenge automatisch bezeichnet, z.B. mit [code]f[/code].[/td][/tr][br][tr][td]3.[/td][td]Berechnen Sie mit dem Befehl [code]Schnittpunkt(gl2,gl3)[/code] die Schnittmenge der Ebenen von [code]gl2[/code] und[code] gl3[/code]. Sofern sich die Ebenen schneiden, wird die Schnittmenge automatisch bezeichnet, z.B. mit [code]g[/code].[/td][/tr][br][tr][td]4.[/td][td]Der Befehl [code]Schnittpunkt(f,g)[/code] liefert dann die Lösung(en) des LGS.[/td][/tr][/table]
Sie haben mit dem Gauß-Jordan-Verfahren einen Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme[br]kennengelernt. [br]Im nachfolgenden Applet sind die einzelnen Schritte des Verfahrens geometrisch dargestellt. [br]Vollziehen Sie die Schritte nach. [br]Öffnen Sie danach den 3D-Rechner von GeoGebra und geben Sie die Gleichungen der einzelnen Schritte aus der Unterrichtsstunde zum Gauß-Jordan-Verfahren ein, um auch für Ihr Unterrichtsbeispiel eine geometrische Deutung zu sehen.
[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel [i]adaptiert von [url=https://www.geogebra.org/u/avohns75]Andreas Vohns[/url][/i][/i]