Konfokale Kurvennetze haben eine enge Beziehung zur [i][b]komplexen Analysis - zur Funktionentheorie[/b][/i].[br]Konfokale Kegelschnitte bilden ein orthogonales Kurvennetz wie die Kurven [math]x\mapsto f\left(z\right)=f\left(x+i\cdot y\right),y=const[/math] und [math]y\mapsto f\left(z\right)=f\left(x+i\cdot y\right),x=const[/math] einer komplex-differenzierbaren Funktion. [br][br]Tatsächlich sind die Kurven [math]x\mapsto \mathbf{sin}\left(z\right)=\mathbf{sin}\left(x+i\cdot y\right),y=const[/math] und [math]y\mapsto \mathbf{sin}\left(z\right)=\mathbf{sin}\left(x+i\cdot y\right),x=const[/math] die konfokalen Kegelschnitte zu den Brennpunkten [math]+1,-1[/math].[br]Die Funktion [math]\mathbf{sin}(z)[/math] ist Lösung der Differentialgleichung [math]f\,'\left(z\right)^2=\left(1-f(z)^2\right)=\left(1-f\left(z\right)\right)\cdot\left(1+f\left(z\right)\right)[/math].[br][br]Die Funktion [math]p\left(z\right)=\frac{1}{4}\cdot z^2[/math] genügt der Differentialgleichung [math]\left(p'\left(z\right)\right)^2=p\left(z\right)^2=\left(p\left(z\right)-0\right)^2[/math], die Kurven [math]y=const[/math] und [math]x=const[/math] sind sind die zur x-Achse symmetrischen, konfokalen Parabeln mit Brennpunkt [math]\left(0,0\right)[/math].[br][br]Die Schar der Kegelschnitte, die 4 verschiedene Geraden berühren, besitzen eine interessante Eigenschaft, die sie in die Nähe der obigen Beispiele rückt: Zeichnet man einen der Kegelschnitte als [i][b]absolute Quadrik[/b][/i] aus, so schneiden sich die anderen Quadriken von der absoluten Quadrik aus gesehen, orthogonal.[br]Wir zeigen dies am Beispiel eines Kreises mit 4 verschiedenen Tangenten. [br]

Man kann die Tangenten und die Berührpunkte symmetrisch zu den Achsen legen. Jeder Punkt im Inneren des Kreises besitzt bezüglich der Symmetrieachsen 3 weitere symmetrisch liegende Punkte (es sei denn, der Punkt liegt auf einer der Symmetrieachsen). Durch die 4 Punkte gehen 2 Kegelschnitte, die aus Symmetriegründen alle 4 Kreistangenten berühren. [br]Die Kegelschnitt-Tangenten in einem der Kegelschnittpunkte sind Winkelhalbierende der Brennstrahlen, gesehen vom Kreis aus. Daher sind sie "orthogonal".[br]Das erkennt man auch, wenn man die Pole der beiden Kegelschnitt-Tangenten bezüglich des Kreises untersucht:[br]der Pol der einen Tangente liegt jeweils auf der anderen Tangente.[br][size=50][br]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size]