[right][size=85][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff0000]Juli 2019[/color])[/size][/size][/right][size=85]Sechs Kreisbüschel, deren [color=#ff7700][i][b]Achsen[/b][/i][/color] im [math]\mathbb{P}_3[/math] ein [i][b]Polartetraeder[/b][/i] sind, erzeugen ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-6-Netz[/b][/i][/color].[br]Drei der [color=#ff7700][i][b]Achsen[/b][/i][/color] schneiden sich innerhalb der [color=#9fc5e8][i][b]Kugel[/b][/i][/color], und sie sind paarweise orthogonal (bezüglich der [b]MOEBIUS[/b]-Form).[br]Die drei anderen [color=#ff7700][i][b]Achsen[/b][/i][/color] sind jeweils die Polar-Geraden. Durch eine geeignete [i][b]MOEBIUS[/b][/i]-Transformation kann man erreichen, dass die drei schneidenden Achsen die [color=#ff7700][i][b]Koordinatenachsen[/b][/i][/color] sind.[br]Durch jeden Punkt [b]P[/b], der nicht auf den [color=#BF9000][i][b]Koordinaten-Ebenen[/b][/i][/color] liegt, gehen aus jedem der 6 Kreisbüschel genau ein Kreis.[br]Projiziert man diesen Punkt [b]P[/b] und die 6 [color=#999999][i][b]Kreise[/b][/i][/color] in [math]z[/math]-Richtung auf die [math]xy[/math]-Ebene, erhält man das [color=#BF9000][i][b]ebene Bild oben links[/b][/i][/color].[br][br][u][color=#38761D][i]Begründung[/i][/color][/u]: Die projizierten Kreise der 6 Kreisbüschel kann man beschreiben als [color=#0000ff][i][b]Niveaulinien[/b][/i][/color] der 6 Funktionen:[br][list][*][math]\varphi_1\left(z\right)=x,\;\;\varphi_2\left(z\right)=y,\;\;\varphi_3\left(z\right)=x^2+y^2[/math][br][/*][br][*][math]\varphi_4\left(z\right)=\frac{x}{y},\;\;\varphi_5\left(z\right)=\frac{x^2-1}{y^2},\;\;\varphi_6\left(z\right)=\frac{y^2-1}{x^2}[/math].[/*][/list]Die im Inneren des [color=#ff7700][i][b]Einheitskreises[/b][/i][/color] verlaufenden Kurvenbögen sind das Bild des [color=#ff0000][i][b]Gewebes[/b][/i][/color] auf der [b]MOEBIUS[/b]-Quadrik.[br]Die [math]\hookrightarrow[/math] [url=http://mathworld.wolfram.com/CremonaTransformation.html][b]CREMONA[/b]-[i][b]Transformation[/b][/i][/url] [math]u=x^2,\;\;v=y^2[/math] bilden das projizierte [color=#ff0000][i][b]Gewebe[/b][/i][/color] ab auf die sechs [color=#0000ff][i][b]Geradenbüschel[br][/b][/i][/color][br][list][*][math]u=const,\;\;v=const,\;\;u+v=const[/math][br][/*][br][*][math]\frac{u}{v}=const,\;\;\frac{u-1}{v}=const,\;\;\frac{v-1}{u}=const[/math],[/*][/list]womit nachgewiesen ist, dass je 3 der 6 [color=#0000ff][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] erzeugen.[br]In der Regel sind die anderen Kreisbüschel [color=#ff00ff][i][b]k e i n e[/b][/i][/color] Diagonal-Kurven![br]In einigen dieser Fälle schneiden sich die Achsen im Raum in einem Punkt: Fall ([b]I[/b]).[br][color=#ff7700][i][b]Berühr-Orte[/b][/i][/color] der Kreisbüschel sind die 3 orthogonalen "Kreise" [math]x=0,y=0,x^2+y^2=1[/math].[/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Drei hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Die Achsen der [color=#ff0000][b][i]Büschel[/i] [/b][/color]sind [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color], sie liegen in einer Ebene, welche die [color=#0000ff][b]Möbiusquadrik[/b][/color] nicht schneidet.[br]Sie besitzen im [math]\mathbb{P}_3[/math] keinen gemeinsamen Punkt: es existiert kein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color], der auf allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] des [color=#ff7700][i][b]Netzes[/b][/i][/color] senkrecht steht![br][br][/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Ein hyperbolisches, zwei elliptische Kreisbüschel.[/b][/i][/color][br]Die Achsen sind orthogonal und besitzen keinen gemeinsamen Punkt im [math]\mathbb{P}_3[/math].[br][br][/size]