Si dos rectas a través de un punto P encuentran a un círculo en los puntos A y A' (posiblemente coincidiente) y B, B' (posiblemente coincidiente), respectivamente, entonces [math]PA\times PA'=PB\times PB'[/math].[br][br][b]Demostración[/b]: Consideremos la siguiente figura

Comparemos los triángulos [math]\text{Δ}PAB'[/math] y [math]\text{Δ}PBA'[/math]. Estos dos triángulos son semejantes ya que comparten el ángulo P por ser opuestos por el vértice, y [math]\angle BA'P=\angle PBA'[/math] ya que inscriben el mismo arco. [br][br]Entonces, podemos tomar la siguiente proporción: [br][br][math]\frac{PA}{PB'}=\frac{PB}{PA'}[/math], al cual multiplicar cruzado obtenemos [math]PA\times PA'=PB\times PB'[/math]. [br][br]Consideremos la siguiente figura:[br]

Podemos utilizar los triángulos similares PAT y PTA' para obtener:[br][br][math]\frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PA'}[/math] y al multiplicar cruzado obtener [math]PT^2=PA\times PA'[/math]

Sean O e I el circuncentro e incentro, respectivamente, de un triángulo con circunradio R e inradio r; sea d la distancia OI. Entonces: [math]d^2=R^2-2rR[/math]. [br][br][b]Demostración[/b]: [br][br]Sea R el radio del círculo y d la distancia desde P al centro. Tomando BB' como el diametro en P (con B más lejos de P que B'), observamos que si P está dentro del círculo como en la primera figura, entonces[br][br][math]AP\times PA'=BP\times PB'=\left(R+d\right)\left(R-d\right)=R^2-d^2[/math], y si P está fuera (como en la segunda figura), [br][br][math]PA\times PA'=PB\times PB'=\left(d+R\right)\left(d-R\right)=d^2-R^2[/math], lo que nos deja con: [math]AP\times PA'=R^2-d^2[/math].[br][br]Miremos esta última figura:[br]

Esta figura muestra el bisector interno de [math]\angle A[/math], extendido para encontrar al circuncírculo en [math]L[/math], el punto medio del arco [math]BC[/math] sin contener a [math]A[/math]. Entonces [math]LM[/math] es el diámetro perpendicular a [math]BC[/math]. Por conveniencia, denotamos [math]\alpha=\frac{1}{2}A[/math] y [math]\beta=\frac{1}{2}B[/math]. Notemos que[br][br][math]\angle BML=\angle BAL=\alpha[/math] y [math]\angle LBC=\angle LAC=\alpha[/math]. [br][br]Como el ángulo exterior de [math]\text{Δ}ABI[/math] en I es [math]\angle BIL=\alpha+\beta=\angle LBI[/math], [math]\text{Δ}LBI[/math] es isósceles: [math]LI=LB[/math].[br][br]Por lo tanto, [br][br][math]R^2-d^2=LI\times IA=LB\times IA=LM\frac{\frac{LB}{LM}}{\frac{IY}{IA}}IY=LM\frac{sen\alpha}{sen\alpha}IY=LM\times IY=2Rr[/math][br][br]O sea, [math]d^2=R^2-2rR[/math], como quisimos probar.

Para cualquier círculo de radio [math]R[/math] y cualquier punto [math]P[/math] con distancia [math]d[/math] del centro, llamamos a [br][br][math]d^2-R^2[/math][br][br]la [b]potencia[/b] de P. [br][br]Esta potencia es positiva si [math]P[/math] está fuera del círculo, es cero cuando [math]P[/math] se encuentra en la circunferencia, y es negativa cuando [math]P[/math] está adentro. [br][br]Si [math]P[/math] está afuera, tenemos la expresión alternativa [math]PA\times PA'[/math].[br]Si [math]P[/math] está adentro, tenemos la expresión alternativa [math]d^2-R^2=-\left(R^2-d^2\right)=-AP\times PA'=PA\times PA'[/math].[br][br]