[br][list][*]Das [i][b]komplexe Doppelverhältnis[/b][/i] von 4 verschiedenen Punkten [math]\mathbf{CR\left(A,B,C,D\right)}[/math] ist reell genau dann, wenn die Punkte auf einem Kreis liegen. [br]crossratio for 4 different points: [math]\mathbf{CR\left(A,B,C,D\right)}\in\mathbb{R}[/math] if and only if the points are concyclic.[/*][br][*][math]\left|\mathbf{CR\left(A,B,C,D\right)}\right|=1[/math] genau dann, [br]wenn die Punktepaare [math]\left\{\mathbf{A,B}\right\}[/math] und [math]\left\{\mathbf{C,D}\right\}[/math] spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen [/*][br][*]Harmonische Lage: [math]\mathbf{CR\left(A,B,C,D\right)}=-1[/math]. Es gilt beides! Die Punkte sind konzyklisch und die Punktepaare [math]\left\{\mathbf{A,B}\right\}[/math] und [math]\left\{\mathbf{C,D}\right\}[/math] liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen.[/*][/list][br]Die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] von 4 verschiedenen Punkten [b]A[/b], [b]B[/b], [b]C[/b], [b]D[/b]: [br][list][*] [math]\mathcal{J}_\mathbf{abs}=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2d-1\right)^2[/math] für [math]d=\mathbf{CR\left(A,B,C,D\right)}[/math][/*][/list][br][size=85]2 Punkte-Quadrupel [b]{A[/b], [b]B[/b], [b]C[/b], [b]D}[/b] und [b]{E[/b], [b]F[/b], [b]G[/b], [b]H}[/b] können durch eine [i][b]Möbius-Transformation[/b][/i] aufeinander abgebildet werden (in geeigneter Reihenfolge) genau dann, wenn ihre [i][b]absolute Invariante[/b][/i] übereinstimmt.[br][list][*]Ist [math]\mathcal{J}_\mathbf{abs}[/math] reell mit [math]\mathcal{J}_\mathbf{abs}\ge 0[/math], so liegen die Punkte auf einem Kreis.[/*][*][br]Ist [math]\mathcal{J}_\mathbf{abs}[/math] reell mit [math]J\le0[/math], so liegen sie spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen.[/*][*][br][math]\mathcal{J}_\mathbf{abs}=0[/math]: harmonische Lage.[/*][*][br][math]\mathcal{J}_\mathbf{abs}=-1[/math]: die Punkte sind möbiusgeometrisch auf der [i][b]Riemannschen Zahlenkugel[/b][/i] die Ecken eines [i][b]Tetraeders[/b][/i].[br][/*][/list][br][br][color=#980000][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [b]geogebrabooks[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle tools[/url] (November 2018)[/right][/size][/color][br][br][br][br][/size]