Diberi titik A(1 , 2), B(-4 , 5),C(8 , -3),D(-7 . -4) dan O ialah asalan pada satah Cartes.[br]Ungkapkan vektor-vektor [math]\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}[/math] dan [math]\overrightarrow{OD}[/math] dalam bentuk[br][br](a)[math]\binom{x}{y}[/math][br](b)[math]x\undertilde{i}+{y}\undertilde{j}[/math][br][br]Penyelesaian:[br](a) [math]\overrightarrow{OA}=\binom{1}{2} , \overrightarrow{OB}=\binom{-4}{5} , \overrightarrow{OC}=\binom{8}{-3} , \overrightarrow{OD}=\binom{-7}{-4} ,[/math] [br][br][br](b) [math] \overrightarrow{OA}= \undertilde{i} +2\undertilde{j} , \overrightarrow{OB}= -4\undertilde{i} +5\undertilde{j}, \overrightarrow{OC}= 8\undertilde{i} -3\undertilde{j}, \overrightarrow{OD}= -7\undertilde{i} -4\undertilde{j}[/math]
Rajah menunjukkan vektor [math]\undertilde{a},\undertilde{b},\undertilde{c},\undertilde{d}[/math] dan [math]\undertilde{e}[/math] pada suatu satah Cartes.[br](a) Ungkapkan setiap vektor dalam bentuk [math] x\undertilde{i} + y\undertilde{j}[/math] dan [math]\binom{x}{y}[/math].[br](b) Cari magnitud bagi setiap vektor tersebut.[br](c) Adakah vektor [math]\undertilde{b}[/math] dan [math]\undertilde{e}[/math] selari? Berikan alasan anda.[br][br]Penyelesaian:[br](a)[br][math] \undertilde{a} = 3\undertilde{i} +2\undertilde{j} , \undertilde{a} = \binom{3}{2}[/math][br][math] \undertilde{b} = 4\undertilde{i} -2\undertilde{j} , \undertilde{b} = \binom{4}{2}[/math][br][math] \undertilde{c} =-3\undertilde{j} , \undertilde{c} = \binom{0}{-3}[/math][br][math] \undertilde{d} = -3\undertilde{i} , \undertilde{d} = \binom{-3}{0}[/math][br][math] \undertilde{e} = -4\undertilde{i} +3\undertilde{j} , \undertilde{e} = \binom{-4}{3}[/math][br][br](b)[math]\left|\undertilde{a}\right| =\sqrt{3^2+2^2}=3.606[/math]unit[br][math]\left|\undertilde{b}\right| =\sqrt{4^2+(-2)^2}=4.472[/math]unit[br][math]\left|\undertilde{c}\right| =\sqrt{0^2+(-3)^2}=3 [/math]unit[br][math]\left|\undertilde{d}\right| =\sqrt{(-3)^2+0^2}=3[/math]unit[br][math]\left|\undertilde{e}\right| =\sqrt{(-4)^2+3^2}=5[/math]unit[br][br](c) Vektor [math]\undertilde{b}[/math] dan [math]\undertilde{e}[/math] tidak selari kerana [math]\undertilde{b}\ne k\undertilde{e}[/math] atau kecerunan [math]\undertilde{b}\ne[/math] kecerunan [math]\undertilde{e}[/math][br]
Unkapkan [math]\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OF},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{FA},\overrightarrow{DE}[/math] dan [math]\overrightarrow{DO}[/math] dalam bentuk[br][br](a) [math] x \undertilde{i} +y\undertilde{j}[/math][br][br](b) vektor lajur
(a) [br][math] \overrightarrow{OA} =2\undertilde{i} + 2\undertilde{j} [/math][br][math] \overrightarrow{OF} =-8\undertilde{i} [/math][br][math] \overrightarrow{BC} =-10\undertilde{i} + \undertilde{j} [/math][br][math] \overrightarrow{FA} =10\undertilde{i} + 2\undertilde{j} [/math][br][math] \overrightarrow{DE} =14\undertilde{i} [/math][br][math] \overrightarrow{DO} =-\undertilde{j} [/math][br][br](b)[br][math] \overrightarrow{OA} =\binom{2}{2} [/math][br][math] \overrightarrow{OF} =\binom{-8}{0} [/math][br][math] \overrightarrow{BC} =\binom{-10}{1} [/math][br][math] \overrightarrow{FA} =\binom{10}{2} [/math][br][math] \overrightarrow{DE} =\binom{14}{0} [/math][br][math] \overrightarrow{DO} =\binom{0}{-1} [/math][br]
Diberi titik A( -2, 3 ),B( 5 , 8 ) dan O ialah asalan pada satah Cartes.[br](a) Cari vektor kedudukan titik B[br](b) Hitung [math]\left|\overrightarrow{AB}\right|[/math]
(a) [math] \overrightarrow{OB} = 5\undertilde{i}+8\undertilde{j}=\binom{5}{8}[/math][br][br](b)[math] \overrightarrow{OA} = -2\undertilde{i}+3\undertilde{j}[/math][br][math]\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}[/math][br][math]=(-(-2)+5)\undertilde{i}+(-3+8)\undertilde{j}[/math][br][math]=7\undertilde{i}+5\undertilde{j}[/math][br][br][math]\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{7^2+5^2}[/math][br][math]\sqrt{74}[/math][br]8.602
Rajah di atas menunjukkan lima titik, A, B, C, D dan E pada suatu grid.[br](a) Unkapkan vektor-vektor yang berikut dalam bentuk vektor paduan bagi vektor unit [math]\undertilde{i}[/math] dan [math]\undertilde{j}[/math].[br](i) [math]\overrightarrow{AB}[/math][br](ii) [math]\overrightarrow{BA}[/math][br](iii) [math]\overrightarrow{BC}[/math][br](iv) [math]\overrightarrow{DC}[/math][br](v) [math]\overrightarrow{AC}[/math][br](vi) [math]\overrightarrow{DE}[/math]
(i) [math]\overrightarrow{AB}=4\undertilde{i}+\undertilde{j}[/math][br](ii) [math]\overrightarrow{BA}=-4\undertilde{i}-\undertilde{j}[/math][br](iii) [math]\overrightarrow{BC}=-\undertilde{i}-5\undertilde{j}[/math][br](iv) [math]\overrightarrow{DC}=2\undertilde{i}[/math][br](v) [math]\overrightarrow{AC}=3\undertilde{i}-4\undertilde{j}[/math][br](vi) [math]\overrightarrow{DE}=4\undertilde{i}+\undertilde{j}[/math]
(b) Nyatakan pasangan vektor yang selari dan huraikan alasan anda.
[math]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DE}=4\undertilde{i}+\undertilde{j}[/math][br]Sebab mempunyai kecerunan yang sama
(c) Nyatakan pasangan vektor yang negatif dan huraikan alasan anda.
[math]\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DE}=4\undertilde{i}+\undertilde{j}[/math].[br]Sebab mempunyai arah bertentangan
Diberi [math]\undertilde{p}=\binom{3}{-4} [/math],[math]\undertilde{q}=\binom{-5}{-7} [/math] dan [math]\undertilde{r}=\binom{1}{5} [/math] masing-masing mewakili vektor kedudukan bagi titik-titik P,Q dan R.[br](a) Tuliskan vektor-vektor [math]\undertilde{p}[/math],[math]\undertilde{q}[/math] dan [math]\undertilde{r}[/math] dalam bentuk [math]x\undertilde{i}+y\undertilde{j}[/math].[br](b) Nyatakan koordinat bagi titik-titik P, Q dan R.[br](c) Hitung panjang vektor-vektor [math]\undertilde{p}[/math],[math]\undertilde{q}[/math] dan [math]\undertilde{r}[/math].
(a)[br][math]\undertilde{p}=3\undertilde{i}-4\undertilde{j}[/math][br][math]\undertilde{q}=-5\undertilde{i}-7\undertilde{j}[/math][br][math]\undertilde{r}=\undertilde{i}+5\undertilde{j}[/math][br][br](b)[br][math]\undertilde{P} = (3, -4)[/math][br][br][math]\undertilde{Q} = (-5, -7)[/math][br][br][math]\undertilde{R} = (1, 5)[/math][br][br](c)[br][math]|\undertilde{p}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5[/math][br][br][math]|\undertilde{q}| = \sqrt{(-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \approx 8.60[/math][br][br][math]|\undertilde{r}| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \approx 5.10[/math][br][br]
Diberi titik A(4,3), cari vektor unit dalam arah vektor [math]\overrightarrow{OA}[/math].[br]Ungkapkan jawapan dalam bentuk[br](a) komponen [math]\undertilde{i}[/math] dan [math]\undertilde{j}[/math].[br](b vektor lajur.
(a)[br][math]\overrightarrow{OA} = \undertilde{a} = 4\undertilde{i} + 3\undertilde{j}[/math][br][br][math]|\undertilde{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ units}[/math][br][br][math]\hat{\undertilde{a}} = \frac{4\undertilde{i} + 3\undertilde{j}}{5}[/math][br][br](b)[br][math]\hat{\undertilde{a}} = \frac{1}{5}\binom{4}{3}= \binom{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}[/math] or [math]\binom{0.8}{0.6}[/math][br]
Diberi [math]-\frac{1}{3}\undertilde{i}+k\undertilde{j} [/math] ialah vektor unit, cari nilai k.
[math]\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2} + k^2 = 1[/math][br][math]\sqrt{\frac{1}{9} + k^2 }= 1[/math][br][math]\frac{1}{9} + k^2 = 1[/math][br][math]k^2 = \frac{8}{9}[/math][br][math]k = \pm 0.9428[/math]
1. Hitung magnitud bagi setiap vektor berikut.[br](a) [math]\binom{3}{2}[/math][br](b) [math]\binom{-4}{-7}[/math][br](c) [math]\binom{0}{-\frac{4}{7}}[/math][br](d) [math]-12\undertilde{i}-5\undertilde{j}[/math][br](e) [math]6\undertilde{i} [/math]
(a) [math]\sqrt{(3)^2 + (2)^2 }[/math][br][math]=\sqrt{13}[/math][br][math]=3.606[/math][br][br](b) [math]\sqrt{(-4)^2 + (-7)^2 }[/math][br][math]\sqrt{(16) + (49) }[/math][br][math]=\sqrt{65}[/math][br][math]=8.062[/math][br][br](c) [math]\sqrt{(0)^2 +(-\frac{4}{7})^2 }[/math][br][math]=\sqrt{\frac{16}{49}}[/math][br][math]=\frac{4}{7}[/math][math]\approx0.571[/math][br][br](d) [math]\sqrt{(-12)^2 + (-5)^2 }[/math][br][math]\sqrt{144 + 25 }[/math][br][math]=\sqrt{169}[/math][br][math]=13[/math][br][br](e) [math]\sqrt{(6)^2}[/math][br][math]=\sqrt{36}[/math][br][math]=6[/math]
2. Cari vektor unit pada arah setiap vektor berikut.[br](a)[math]3\undertilde{i}+2\undertilde{j} [/math][br](b)[math]-\undertilde{i}-9\undertilde{j} [/math][br](c)[math]\binom{4}{0} [/math][br](d)[math]\binom{-8}{-15} [/math]
(a)[br][math]\sqrt{(3)^2 + (2)^2 }[/math][br][math]=\sqrt{13}[/math][br][math]=3.606[/math][br][br][math]\frac{3\undertilde{i}+2\undertilde{j}}{13}[/math][br][br](b)[br][math]\sqrt{(-1)^2 + (-9)^2 }[/math][br][math]\sqrt{1 + 81}[/math][br][math]=\sqrt{82}[/math][br][br][math]\frac{-\undertilde{i}-9\undertilde{j}}{\sqrt{82}[/math][br][br](c)[br][math]\sqrt{(4)^2}[/math][br][math]=\sqrt{16}[/math][br][math]=4[/math][br][br][math]\frac{4\undertilde{i}}{\sqrt{4}}[/math][br][math]\undertilde{i}[/math][br][br](d)[br][math]\sqrt{(-8)^2+(-15)^2}[/math][br][math]=\sqrt{64+225}[/math][br][math]=\sqrt{289}[/math][br][math]=17[/math][br][br][math]\frac{-8\undertilde{i}-15\undertilde{j}}{17}[/math]
3. Tentukan sama ada vektor yang berikut merupakan vektor unit atau bukan.[br](a)[math]\binom{0}{-1} [/math][br](b)[math]\binom{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}[/math][br](c)[math]\binom{-0.6}{-0.8}[/math][br](d)[math]\frac{7}{25}\undertilde{i}+\frac{24}{25}\undertilde{j}[/math][br](e)[math]\frac{2}{3}\undertilde{i}+\frac{\sqrt{7}}{3}\undertilde{j}[/math]
Vektor unit = 1, Bukan Vektor unit [math]\ne[/math] 1[br][br](a)[br][math]\sqrt{(0)^2+(-1)^2}[/math][br][math]=\sqrt{1}[/math][br][math]=1 \therefore[/math] Vektor Unit.[br][br](b)[br][math]\sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2})^2}[/math][br][math]=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}[/math][br][math]=\sqrt{1}[/math][br][math]=1 \therefore[/math] Vektor Unit.[br][br](c)[br][math]\sqrt{(-0.6)^2+(-0.8)^2}[/math][br][math]=\sqrt{0.36+0.64}[/math][br][math]=\sqrt{1}[/math][br][math]=1 \therefore[/math] Vektor Unit.[br][br](d)[br][math]\sqrt{(\frac{7}{25})^2+(\frac{24}{25})^2}[/math][br][math]=\sqrt{\frac{49}{625}+\frac{576}{625}}[/math][br][math]=\sqrt{1}[/math][br][math]=1 \therefore[/math] Vektor Unit.[br][br](e)[br][math]\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(\frac{\sqrt{7}}{3})^2}[/math][br][math]=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{7}{9}}[/math][br][math]=\sqrt{\frac{11}{9}}[/math][br][math]=1.106 \therefore[/math] [b]Bukan[/b] Vektor Unit.[br]
4. Cari nilai k untuk setiap vektor unit berikut.[br](a) [math]\binom{0}{k}[/math][br](b)[math]\binom{k}{0}[/math][br](c)[math]\binom{k}{1}[/math][br](d)[math]\binom{k}{k}[/math][br](e)[math]0.5\undertilde{i}+k\undertilde{j}[/math][br](f)[math]k\undertilde{i}+\frac{13}{84}\undertilde{j}[/math]
(a)[br][math]\begin{pmatrix}0 \\ k\end{pmatrix}[/math][br][math]\sqrt{(0)^2 + (k)^2} = |k| = 1[/math].[br][math]k = \pm 1[/math][br][br](b)[br][math]\begin{pmatrix}k\\ 0\end{pmatrix}[/math][br][math]\sqrt{(k)^2 + (0)^2} = |k| = 1[/math].[br][math]k = \pm 1[/math][br][br](c)[br][math]\begin{pmatrix}k\\ 1\end{pmatrix}[/math][br][math]\sqrt{(k)^2 + (1)^2} = k^2+1 = 1[/math].[br][math]k = 0[/math][br][br](d)[br][math]\begin{pmatrix}k\\ k\end{pmatrix}[/math][br][math]\sqrt{(k)^2 + (k)^2} = |2k^2| = 1[/math].[br][math]k = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}[/math][br][br](e)[br][math]0.5\,\mathbf{i} + k\,\mathbf{j}[/math][br][math]\begin{pmatrix}0.5 \\ k\end{pmatrix}[/math][br][math]\sqrt{(0.5)^2 + k^2} = \sqrt{0.25 + k^2} = 1[/math][br][math]0.25 + k^2 = 1[/math] [br][math]k^2 = 0.75[/math][br][math]k = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \approx\pm 0.866[/math][br][br](f)[br][math]k\,\mathbf{i} + \frac{13}{84}\,\mathbf{j}[/math] [br][math]\begin{pmatrix}k \\ \frac{13}{84}\end{pmatrix}[/math][br][math]\sqrt{k^2 + \left(\frac{13}{84}\right)^2} = 1[/math][br][math]k^2 + \left(\frac{13}{84}\right)^2 = 1[/math].[br][br][math]\left(\frac{13}{84}\right)^2 = \frac{169}{7056}[/math][br][math]k^2 = 1 - \frac{169}{7056} = \frac{7056 - 169}{7056} = \frac{6887}{7056}[/math][br][math]k = \pm \frac{\sqrt{6887}}{84}\approx \pm0.988[/math] [br]
Diberi vektor unit dalam arah vektor [math]\undertilde{u}[/math] ialah[br][math][br]\hat{u} = \frac{p\,\mathbf{i} + 8\,\mathbf{j}}{\sqrt{73}}[br][/math][br]cari nilai-nilai yang mungkin bagi [math]p[/math][br]
[math]\sqrt{(p)^2+(8)^2}=\sqrt{73}[/math][br][math]\left[\sqrt{p^2+8^2}=\sqrt{73}\right]^2[/math][br][math](p)^2+64=73[/math][br][math]p^2=73-64=9[/math][br][math]p=\pm3[/math]
Diberi [math]\undertilde{\hat{u}} = (1-k)\undertilde{i}+h\undertilde{j} [/math], ungkapkan [math]h[/math] dalam sebutan [math]k[/math]
[math]\sqrt{(1-k)^2+(h)^2}=1[/math][br][math](1-k)^2+(h)^2=1[/math][br][math](1-2k+k^2)+h^2=1[/math][br][math]h^2=1-(1-2k+k^2)[/math][br][math]h^2=1-1+2k-k^2[/math][br][math]h^2=2k-k^2[/math][br][math]h=\pm\sqrt{2k-k^2}[/math]
Cari hasil tambah bagi vektor berikut:[br](a) [math]\undertilde{a}=\binom{4}{1},\undertilde{b}=\binom{0}{-3}[/math] dan [math]\undertilde{c}=\binom{-1}{6}[/math][br][br](b) [math]\undertilde{v}=3\undertilde{i}+2\undertilde{j}[/math] dan [math]\undertilde{w}=4\undertilde{i}-5\undertilde{j}[/math]
(a)[br] [math]\undertilde{a}+\undertilde{b}+\undertilde{c}=\binom{4}{1}+\binom{0}{-3}+\binom{-1}{6}[br]=\binom{3}{4}[/math][br][br](b)[br] [math]\undertilde{v}+ \undertilde{w}[/math][br][math]=(3\undertilde{i}+2\undertilde{j})+(4\undertilde{i}-5\undertilde{j})[/math][br][math]=(3+4)\undertilde{i}+(2-5)\undertilde{j}[/math][br][math]=7\undertilde{i}-3\undertilde{j}[/math]
Cari [math]\undertilde{p}-\undertilde{q}[/math] bagi pasangan vektor berikut:[br](a) [math]\undertilde{p}=\binom{7}{-1}[/math] dan [math]\undertilde{q}=\binom{4}{1}[/math][br][br](b) [math]\undertilde{p}=2\undertilde{i}-\undertilde{j}[/math] dan [math]\undertilde{q}=3\undertilde{i}+5\undertilde{j}[/math]
(a)[br][math]\undertilde{p}-\undertilde{q}[/math][br][math]=\binom{7}{-1}-\binom{4}{1}[/math][br][math]=\binom{7-4}{-1-1}[/math][br][math]=\binom{3}{-2}[/math][br][br](b)[br][math]\undertilde{p}-\undertilde{q}[/math][br][math](2\undertilde{i}-\undertilde{j})-(3\undertilde{i}+5\undertilde{j})[/math][br][math](2-3)\undertilde{i}+(-1-5)\undertilde{j}[/math][br][math]-\undertilde{i}-6\undertilde{j}[/math][br]
Bagi setiap vektor berikut, cari[br](a) [math]-3\undertilde{s}[/math], diberi [math]\undertilde{s}=\binom{-4}{2}[/math][br][br](b) [math]2\undertilde{r}[/math] diberi [math]\undertilde{r} =5\undertilde{i}-3\undertilde{j}[/math][br]
(a)[br][math]-3\undertilde{s}=-3\binom{-4}{2}[/math][br][math]=\binom{12}{-6}[/math][br][br](b)[br] [math]2\undertilde{r}=2(5\undertilde{i}-3\undertilde{j})[/math][br] [math](2\cdot5)\undertilde{i}+(2\cdot-3)\undertilde{j}[/math][br] [math]10\undertilde{i}-6\undertilde{j}[/math]
Diberi [math]\undertilde{p}=\binom{6}{-3},\undertilde{q}=\binom{-4}{5}[/math] dan [math]\undertilde{r}=\binom{7}{8}[/math], tentukan vektor [math]3\undertilde{p}+\undertilde{q}-2\undertilde{r}[/math]
[math]3\undertilde{p}+\undertilde{q}-2\undertilde{r}=3\binom{6}{-3}+\binom{-4}{5}-2\binom{7}{8}[/math][br][math]=\binom{18}{-9}+\binom{-4}{5}-\binom{14}{16} [/math][br][math]=\binom{18-4-14}{-9+5-16} [/math][br][math]=\binom{0}{-20} [/math]
1. Diberi [math]\undertilde{a}=\binom{-3}{5},\undertilde{b}=\binom{4}{-12}[/math] dan [math]\undertilde{c}=\binom{1}{8}[/math], cari[br][br](a)[math]2\undertilde{a}-\undertilde{b}+\undertilde{c}[/math][br](b)[math]-3\undertilde{a}+2\undertilde{b}-\undertilde{c}[/math][br](c)[math]\frac{1}{2}\undertilde{b}+\undertilde{c}-3\undertilde{a}[/math][br](d)[math]\frac{1}{4}\undertilde{b}-\undertilde{a}+3\undertilde{c}[/math]
(a)[br][math]2\undertilde{a}-\undertilde{b}+\undertilde{c}=2\binom{-3}{5}-\binom{4}{-12}+\binom{1}{8}[/math][br][math]=\binom{-6}{10}-\binom{4}{-12}+\binom{1}{8}[/math][br][math]=\binom{-6-4+1}{10-(-12)+8} [/math][br][math]=\binom{-9}{30} [/math][br][br](b)[br][math]-3\undertilde{a}+2\undertilde{b}-\undertilde{c}=-3\binom{-3}{5}+2\binom{4}{-12}-\binom{1}{8}[/math][br][math]=\binom{9}{-15}+\binom{8}{-24}-\binom{1}{8} [/math][br][math]=\binom{9+8-1}{-15-24-8} [/math][br][math]=\binom{16}{-47} [/math][br][br](c)[br][math]-3\undertilde{a}+\frac{1}{2}\undertilde{b}+\undertilde{c}=-3\binom{-3}{5}+\frac{1}{2}\binom{4}{-12}+\binom{1}{8}[/math][br][math]=\binom{9}{-15}+\binom{2}{-6}+\binom{1}{8} [/math][br][math]=\binom{9+2+1}{-15-6+8} [/math][br][math]=\binom{12}{-13} [/math][br][br](d)[br][math]-\undertilde{a}+\frac{1}{4}\undertilde{b}+3\undertilde{c}=-\binom{-3}{5}+\frac{1}{4}\binom{4}{-12}+3\binom{1}{8}[/math][br][math]=\binom{3}{-5}+\binom{1}{-3}+\binom{3}{24} [/math][br][math]=\binom{3+1+3}{-5-3+24} [/math][br][math]=\binom{7}{16} [/math]
2. Diberi [math]\undertilde{u}=3\undertilde{i}+6\undertilde{j},\undertilde{v}=-2\undertilde{i}-8\undertilde{j}[/math] dan [math]\undertilde{w}=3\undertilde{i}-4\undertilde{j}[/math], cari[br][br](a)[math]\undertilde{u}-2\undertilde{v}+\undertilde{w}[/math][br](b)[math]3\undertilde{u}+2\undertilde{v}-\undertilde{w}[/math][br](c)[math]\frac{1}{2}\undertilde{v}+\undertilde{w}-3\undertilde{u}[/math][br](d)[math]\frac{1}{4}\undertilde{v}-\undertilde{w}+3\undertilde{u}[/math]
(a)[br][math]\undertilde{u}-2\undertilde{v}+\undertilde{w}=(3\undertilde{i}+6\undertilde{j})-2(-2\undertilde{i}+-8\undertilde{j})+(3\undertilde{i}-4\undertilde{j})[/math][br][math]=(3+4+3)\undertilde{i}+(6+16-4)\undertilde{j} [/math][br][math]10\undertilde{i}+18\undertilde{j}[/math][br][br](b)[br][math]3\undertilde{u}+2\undertilde{v}-\undertilde{w}=3(3\undertilde{i}+6\undertilde{j})+2(-2\undertilde{i}+-8\undertilde{j})-(3\undertilde{i}-4\undertilde{j})[/math][br][math]=(9+(-4)-3)\undertilde{i}+(18+(-16)-(-4))\undertilde{j} [/math][br][math]2\undertilde{i}+6\undertilde{j}[/math][br][br](c)[br][math]-3\undertilde{u}+\frac{1}{2}\undertilde{v}+\undertilde{w}=-3(3\undertilde{i}+6\undertilde{j})+\frac{1}{2}(-2\undertilde{i}-8\undertilde{j})+(3\undertilde{i}-4\undertilde{j})[/math][br][math]=(-9-1+3)\undertilde{i}+(-18-4-4)\undertilde{j} [/math][br][math]-7\undertilde{i}-26\undertilde{j}[/math][br][br](d)[br][math]3\undertilde{u}+\frac{1}{4}\undertilde{v}-\undertilde{w}=(3\undertilde{i}+6\undertilde{j})-2(-2\undertilde{i}+-8\undertilde{j})+(3\undertilde{i}-4\undertilde{j})[/math][br][math]=(9-\frac{1}{2}-3)\undertilde{i}+(18-2+4)\undertilde{j} [/math][br][math]5.5\undertilde{i}+20\undertilde{j}[/math]