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Funções básicas
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1. Apresentação do Autor
- Apresentação do autor
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2. Função afim
- Função Afim
- Exercícios de Funções Afim
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3. Função Quadrática
- Função Quadrática
- Exercícios de Funções Quadráticas
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4. Trigonometria
- Trigonometria no triângulo retângulo
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5. Funções trigonométricas
- Função seno
- Função cosseno
- Função tangente
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6. Referências
- Referências
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Funções básicas
Cleison dos Santos Ramthun, Sep 8, 2018
Este livro apresenta uma noção de funções afim e quadrática, relações trigonométricas no triângulo retângulo e comportamento das funções trigonométricas básicas. Este material se destina a alunos do 9º ano do ensino fundamental.
Table of Contents
- Apresentação do Autor
- Apresentação do autor
- Função afim
- Função Afim
- Exercícios de Funções Afim
- Função Quadrática
- Função Quadrática
- Exercícios de Funções Quadráticas
- Trigonometria
- Trigonometria no triângulo retângulo
- Funções trigonométricas
- Função seno
- Função cosseno
- Função tangente
- Referências
- Referências
Apresentação do autor
Cleison dos Santos Ramthun tem 21 anos e é estudante da 7ª fase do curso de licenciatura em matemática da Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC / Campus Blumenau. Tem interesse na área de matemática pura. Contato: cleison.ramthun@grad.ufsc.br
Função Afim
Motivação
A locadora de veículos Carro Bom trabalha da seguinte forma: O cliente paga uma taxa de R$ 50,00 ao ceder o veículo e R$ 1,50 a cada km rodado. Como o cliente pode calcular o valor a ser pago?
Veja que pelo contrato assinado com a locadora existe um custo fixo de R$ 50,00, e um custo variável, de acordo com a quantidade de km rodados pelo cliente.
O custo total pode ser calculado da seguinte forma:
Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
Considerando que o cliente roda uma quantidade x de km, e que o custo total C está em função de x, a lei matemática que representa essa dependência é:
C(x) = 1,50.x + 50
Veja que C(x) é o custo total em função da quantidade x de km rodados.
A função C(x) é um exemplo da função afim ou função do primeiro grau.
DEFINIÇÃO
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= a.x + b para todo x ∈ R, onde a ≠ 0.
SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES
Na função f(x)= a.x + b, o número a é chamado de coeficiente de x, enquanto o número b é chamado de termo constante.
Veremos mais a frente que os coeficientes a e b nos ajudam a identificar o gráfico da função.
Exemplos de funções afim e seus coeficientes:
a) f(x) = 2x + 3, onde a=2 e b=3
b) f(x) = -3x + 10, onde a=-3 e b=10
c) f(x) = x + 13, onde a=1 e b=13
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano.
Observe:
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Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem. Função Quadrática
Definição
Toda funçãoestabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números
reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau.
Propriedades Gráficas
O gráfico da FunçãoPolinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de
simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y,
passando pelo vértice da parábola.
Raiz da Função
Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x quesatisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas
através do Teorema de Bháskara:
Número de raízes reais da função do 2º grau
Dada a função f(x) =ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do
número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.
1º caso → Δ > 0: A funçãopossui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais eiguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.
3º caso → Δ < 0: A função não possui raízesreais.
Soma e produto das raízes
Seja a equação, ax² +bx + c = 0, temos que:
Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por
e o produto das raízes por
De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:
Soma das raízes
Produto das raízes
Efetuando a multiplicação, temos:
Substituindo Δ por b² – 4ac, temos
Após a simplificação, temos:
Aplicações da Função Quadrática em nosso dia a dia
Há várias situações na vida real em que a configuração de arco da parábola está presente:
Pontes Penseis
Parábolas são utilizadas na engenharia na construção de pontes estáveis e econômicas, sendo que todas elas são de formato
parabólico.
Faróis dos carros
Os faróis dos carros possuem,respetivamente uma lâmpada que é colocada no foco da superfície parabólica.
Neste caso podemos ter acesso às propriedades óticas da parábola.
Antenas Parabólicas
São objetos bastante utilizados nas comunicações atuais, através de transmissão ia satélite, telefonia móvel e GPS-sistema de radionavegação baseado em satélites.
Resolução de exercícios
Trigonometria no triângulo retângulo
Conceito
A Trigonometria é o estudo das relações entre ângulos e lados de um triângulo. Os triângulos retângulos são aqueles que possuem um ângulo reto.
O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria. Ele possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e a medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:
- Equilátero: possui todos os lados com medidas iguais.
- Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
- Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.
- Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º.
- Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.
- Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado de ângulo reto.
Seno = cateto oposto hipotenusa Cosseno = cateto adjacente hipotenusa Tangente = cateto oposto cateto adjacente
Trigonometria no triângulo retângulo
1. Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão . Ele muda?
2. Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão . Ele muda?
3. Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão . Ele muda?
4. Por que os resultados das razões e são sempre iguais? Por que os resultados das razões e são sempre iguais? Por que os resultados das razões e são sempre iguais?
5. Por que os triângulos ADF e AEG são semelhantes?
6. Movimente o ponto C, diminuindo e aumentando o ângulo . O resultado da razão muda?
7. Movimente o ponto C, diminuindo e aumentando o ângulo . O resultado da razão muda?
8. Veja que na figura temos 2 triângulos retângulos. Os lados do triângulo retângulo são chamados de catetos e hipotenusa. Chamamos a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa de Seno do ângulo. Na figura, temos sen(). O que acontece com o sen() quando diminuímos o ângulo fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
9. Chamamos a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa de Cosseno do ângulo. Na figura, temos cos(). O que acontece com o cos() quando diminuímos o ângulo fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
10. Chamamos a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo de Tangente do ângulo. Na figura, temos tan(). O que acontece com o tan() quando diminuímos o ângulo fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
11. O que acontece com o sen() quando aumentamos o ângulo fazendo ficar próximo de 90º ?
12. O que acontece com o cos() quando aumentamos o ângulo fazendo ficar próximo de 90º ?
13. O que acontece com a tan() quando aumentamos o ângulo fazendo ficar próximo de 90º ?
Trigonometria no triângulo retângulo
Função seno
Definição - Seno
O seno do ângulo θ é o nome dado a uma razão entre a medida do cateto oposto a θ e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Razão é o resultado de uma divisão em que a ordem imposta deve ser respeitada. Sendo assim, seno é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa.
Comportamento dafunção seno
Esta planilha desenvolve o gráfico da função seno com o objetivo de auxilar no estudo das suas principais características: domínio, imagem, intervalos de crescimento e decrescimento e os sinais da função.
Referências
https://sabermatematica.com.br/funcaoafim.html
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm
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