Funções básicas
Este livro apresenta uma noção de funções afim e quadrática, relações trigonométricas no triângulo retângulo e comportamento das funções trigonométricas básicas. Este material se destina a alunos do 9º ano do ensino fundamental.
Table of Contents
- Apresentação do Autor
- Apresentação do autor
- Função afim
- Função Afim
- Exercícios de Funções Afim
- Função Quadrática
- Função Quadrática
- Exercícios de Funções Quadráticas
- Trigonometria
- Trigonometria no triângulo retângulo
- Funções trigonométricas
- Função seno
- Função cosseno
- Função tangente
- Referências
- Referências
Apresentação do autor
Cleison dos Santos Ramthun tem 21 anos e é estudante da 7ª fase do curso de licenciatura em matemática da Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC / Campus Blumenau. Tem interesse na área de matemática pura. Contato: cleison.ramthun@grad.ufsc.br
Função Afim
Motivação
A locadora de veículos Carro Bom trabalha da seguinte forma: O cliente paga uma taxa de R$ 50,00 ao ceder o veículo e R$ 1,50 a cada km rodado. Como o cliente pode calcular o valor a ser pago?[br]Veja que pelo contrato assinado com a locadora existe um custo fixo de R$ 50,00, e um custo variável, de acordo com a quantidade de km rodados pelo cliente.[br] [br]O custo total pode ser calculado da seguinte forma:[br]Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável[br] [br]Considerando que o cliente roda uma quantidade x de km, e que o custo total C está em função de x, a lei matemática que representa essa dependência é:[br]C(x) = 1,50.x + 50[br]Veja que C(x) é o custo total em função da quantidade x de km rodados.[br]A função C(x) é um exemplo da função afim ou função do primeiro grau.[br][br][br][br][br][b]DEFINIÇÃO[/b][br]Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= a.x + b para todo x ∈ R, onde a ≠ 0.[br] [br] [br][b]SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES[/b][br]Na função f(x)= a.x + b, o número a é chamado de coeficiente de x, enquanto o número b é chamado de termo constante.[br]Veremos mais a frente que os coeficientes a e b nos ajudam a identificar o gráfico da função.[br] [br]Exemplos de funções afim e seus coeficientes:[br]a) f(x) = 2x + 3, onde a=2 e b=3[br]b) f(x) = -3x + 10, onde a=-3 e b=10[br]c) f(x) = x + 13, onde a=1 e b=13[br][br][br][b]GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM[/b][br][br]A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. [br]Observe:[br][br][img]http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/Untitled-2(11).jpg[/img][br][br][i][b]Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.[br][br]Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem. [/b][/i]
Função Quadrática
Definição
Toda funçãoestabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números[br]reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau.
Propriedades Gráficas
O gráfico da FunçãoPolinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de[br]simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y,[br]passando pelo vértice da parábola.
Raiz da Função
Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x quesatisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas[br]através do Teorema de Bháskara:
[b][i]Número de raízes reais da função do 2º grau[/i][/b][br][br]Dada a função f(x) =ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do[br]número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ. [br][br][br][b][i]1º caso → Δ > 0: A funçãopossui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.[/i][/b][b][i] [/i][/b][b][i][br][br][br][b]2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais eiguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.[/b] [br][br][br][b]3º caso → Δ < 0: A função não possui raízesreais.[/b][/i][/b] [br][br][br]Soma e produto das raízes [br][br]Seja a equação, ax² +bx + c = 0, temos que: [br][br]Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por
e o produto das raízes por
De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos: [br][br][br]
[b][i]Soma das raízes[/i][/b]
[b][i]Produto das raízes[/i][/b]
Efetuando a multiplicação, temos:
Substituindo Δ por b² – 4ac, temos
Após a simplificação, temos: [br][br]
Aplicações da Função Quadrática em nosso dia a dia
Há várias situações na vida real em que a configuração de arco da parábola está presente:
[i]Pontes Penseis[br][br][/i]Parábolas são utilizadas na engenharia na construção de pontes estáveis e econômicas, sendo que todas elas são de formato[br]parabólico.
[i]Faróis dos carros[br][/i] [br]Os faróis dos carros possuem,respetivamente uma lâmpada que é colocada no foco da superfície parabólica.[br]Neste caso podemos ter acesso às propriedades óticas da parábola.
[br]Antenas Parabólicas[br][br]São objetos bastante utilizados nas comunicações atuais, através de transmissão ia satélite, telefonia móvel e GPS-sistema de radionavegação baseado em satélites.
Resolução de exercícios
Trigonometria no triângulo retângulo
Conceito
A Trigonometria é o estudo das relações entre ângulos e lados de um triângulo. Os triângulos retângulos são aqueles que possuem um ângulo reto.[br][br][justify]O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria. Ele possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e a medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:[br][/justify][list][*][b]Equilátero:[/b] possui todos os lados com medidas iguais.[br][/*][*][b]Isósceles: [/b]possui dois lados com medidas iguais.[br][/*][*][b]Escaleno: [/b]possui todos os lados com medidas diferentes.[br][/*][/list]Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser:[br][list][*][b]Acutângulo: [/b]possui os ângulos internos com medidas menores que 90º.[br][/*][*][b]Obtusângulo:[/b] possui um dos ângulos com medida maior que 90º.[br][/*][*][b]Retângulo:[/b] possui um ângulo com medida de 90º, chamado de ângulo reto.[br][/*][/list]No triângulo retângulo, existem algumas importantes relações. Uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.[br][br]As relações trigonométricas existentes no [b]triângulo[/b] [b]retângulo[/b] admitem três casos: [b]seno[/b], [b]cosseno[/b] e [b]tangente[/b].[br][br][center][b]Seno = [/b][u]cateto oposto[/u][br] hipotenusa[br][br][b]Cosseno = [/b][u]cateto adjacente[/u][br] hipotenusa[br][br][b]Tangente = [/b][u][b] [/b] cateto oposto [/u][br] cateto adjacente[/center]
Trigonometria no triângulo retângulo
1. Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão [math]\frac{DF}{AF}[/math]. Ele muda?
2. Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão [math]\frac{AD}{AF}[/math]. Ele muda?
3. Altere a posição do ponto D e observe o resultado da razão [math]\frac{DF}{AD}[/math]. Ele muda?
4. Por que os resultados das razões [math]\frac{DF}{AF}[/math] e [math]\frac{EG}{AG}[/math] são sempre iguais? Por que os resultados das razões [math]\frac{AD}{AF}[/math] e [math]\frac{AE}{AG}[/math] são sempre iguais? Por que os resultados das razões [math]\frac{DF}{AD}[/math] e [math]\frac{EG}{AE}[/math] são sempre iguais?
5. Por que os triângulos ADF e AEG são semelhantes?
6. Movimente o ponto C, diminuindo e aumentando o ângulo [math]\alpha[/math] . O resultado da razão [math]\frac{DF}{AF}[/math] muda?[code][/code]
7. Movimente o ponto C, diminuindo e aumentando o ângulo [math]\alpha[/math] . O resultado da razão [math]\frac{AD}{AF}[/math] muda?
8. Veja que na figura temos 2 triângulos retângulos. Os lados do triângulo retângulo são chamados de catetos e hipotenusa. Chamamos a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa de [b]Seno[/b][b] do ângulo[/b]. Na figura, temos sen([math]\alpha[/math]). O que acontece com o sen([math]\alpha[/math]) quando diminuímos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
9. Chamamos a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa de [b]Cosseno[/b][b] do ângulo[/b]. Na figura, temos cos([math]\alpha[/math]). O que acontece com o cos([math]\alpha[/math]) quando diminuímos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
10. Chamamos a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo de [b]Tangente [/b][b]do ângulo[/b]. Na figura, temos tan([math]\alpha[/math]). O que acontece com o tan([math]\alpha[/math]) quando diminuímos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 0 (zero) ?
11. O que acontece com o sen([math]\alpha[/math]) quando aumentamos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 90º ?
12. O que acontece com o cos([math]\alpha[/math]) quando aumentamos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 90º ?
13. O que acontece com a tan([math]\alpha[/math]) quando aumentamos o ângulo [math]\alpha[/math] fazendo ficar próximo de 90º ?
Trigonometria no triângulo retângulo
Função seno
Definição - Seno
[justify]O [b]seno[/b] do ângulo θ é o nome dado a uma [b]razão[/b] entre a medida do cateto oposto a θ e a hipotenusa de um [b]triângulo[/b] [b]retângulo[/b]. Razão é o resultado de uma divisão em que a ordem imposta deve ser respeitada. Sendo assim, seno é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa.[/justify]
Comportamento dafunção seno
Esta planilha desenvolve o gráfico da função seno com o objetivo de auxilar no estudo das suas principais características: domínio, imagem, intervalos de crescimento e decrescimento e os sinais da função.
Referências
https://sabermatematica.com.br/funcaoafim.html[br][br]https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm