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Funciones. Representación y propiedades
Se propone a los alumnos una serie de ejercicios donde deben demostrar que han asimilado el concepto de función y su representación.
Table of Contents
- Conocimientos previos
- Sistema de referencia y coordenadas cartesianas
- Dependencia e independencia de variables
- Teoría y ejemplos
- Actividades de Avance
- Funciones. Tablas, fórmulas, lenguaje natural y gráficas
- Presentaciones de una función: Tabla-lenguaje cotidiano-gráfica-fórmula
- Relación tabla y gráfica
- Relación lenguaje cotidiano - fórmula - gráfica
- ¿Funciones?
- Estudio de monotonía, continuidad, extremos y puntos de corte con los ejes
- Continuidad
- Monotonía: crecimiento y decrecimiento
- Extremos: máximos y mínimos
- Puntos de corte con los ejes
- Actividades Propiedades de las funciones
- La prensa y las funciones
- Las gráficas en la prensa
- Errores en la gráfica
- Preparación de la caminata
- PR-TF 52 Erjos-Las Portelas
Sistema de referencia y coordenadas cartesianas
En la vida cotidiana nos encontramos con situaciones donde tenemos que indicar la localización de los objetos, lugares o personas. Para ello utilizamos mapas o planos. Para entender la localización es importante que tengamos una representación común, siendo el más utilizado el sistema de referencia cartesiano.[br][br]Un [b]sistema de referencia cartesiano [/b]consiste en dos rectas numéricas reales perpendiculares, llamadas [b]ejes[/b]. Normalmente representamos con un eje horizontal al [b]eje OX[/b] y con un eje vertical al [b]eje OY. [/b][br][br]Asimismo, se define las [b]coordenadas de un punto A [/b]como [b](x,y)[/b], donde x e y son números. La coordenada [i]x [/i]indica la distancia mínima a la que está dicho punto del eje OY y la coordenada[i]y[/i] indica la distancia mínima a la que está del eje OX.[br][br][br]Dado que los ejes cartesianos representan la recta numérica real, cuando la cantidad sea hacia la izquierda o hacia abajo, la indicaremos con un número negativo y si es hacia arriba o la derecha, la indicaremos con uno positivo.[br][br][br]En la siguiente imagen aparece un sistema de referencia de coordenadas cartesianas. Se puede describir mediante palabras dónde está localizado cada punto. Supongamos que cada unidad es un metro, tanto en vertical como en horizontal. El punto D tiene de coordenadas (0,0), porque se sitúa en la intersección de los ejes. Situándonos en dicho punto, el punto B (violeta) está 6 metros hacia la derecha de éste (+6) y 5 metros hacia arriba (+5). Por eso, tiene de coordenadas B(6,5). Lo mismo sucede con el resto de puntos. El punto A está tres metros hacia arriba (+3) y 5 metros a la izquierda (-5) del (0,0). Por lo tanto, tiene de coordenadas A(-5,3). Por último, el punto C está 4.5 metros hacia la derecha (+4.5) y 3.5 metros hacia abajo. Es decir, tiene de coordenadas C(4.5, -3.5). [br][br]
Actividad inicial en Gran Grupo
Comprueba que sabes cómo hallar las coordenadas cartesianas de un punto. Para ello te proponemos el siguiente Applet, en el que se deben especificar las coordenadas de cada uno de los puntos señalados. [br]Posteriormente, comprueba tus respuestas.
Applet de coordenadas cartesianas
Teoría y ejemplos
Supongamos que tenemos dos magnitudes o variables, y el valor de una de ellas depende del valor de la otra. A partir de esta dependencia surge la [b]función matemática.[br][br][/b]Una [b]función[/b] es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde, como máximo, un único valor de la segunda, el cual llamamos[b] imagen.[br][br][/b]La variable que se fija previamente es la variable [b]independiente.[br][/b]La variable que se deduce de la otra se denomina variable [b]dependiente.[br][/b]
Ejemplo 1: Función de altitud
[size=100][url=http://www.tenerife.es/portalcabtfe/images/PDF/temas/medio_ambiente/11PRTF10CruzCarPtaH.pdf]PR – TF 10 Cruz del Carmen - Punta del Hidalgo[/url][br]Vamos a caminar desde [i]Cruz del Carmen[/i] hasta [i]Punta del Hidalgo[/i]. Queremos saber a qué altura respecto al nivel del mar estaremos en cada momento. [br]La altitud en la que estemos depende del número de kilómetros que hayamos recorrido.[br]Toda la caminata es bajada, por lo que, cuanto más hayamos recorrido, más cerca del mar estaremos.[br]En ese caso, la [b]variable independiente [/b]sería el número de kilómetros recorridos y la [b]variable dependiente[/b] es los metros de altura en los que estamos.[/size][br][br]
Ejemplo 2: Función de la guagua y coste individual
[size=100][url=http://www.tenerife.es/portalcabtfe/images/PDF/temas/medio_ambiente/24PRTF52ErjosLasPortelasMA.pdf]PR –TF 52 Erjos – Las Portelas (Monte del Agua) [/url][br]Para ir de caminata de [i]Erjos[/i] a [i]El Palmar[/i]. Dejamos el coche en [i]Erjos[/i], y al llegar al [i]Las Portelas[/i] cogeremos la guagua. ¿Cuánto nos costará a todos la guagua?[br]Esto va a depender del número de personas que vayamos. Si la guagua nos cobra un precio fijo de 70 euros por el desplazamiento de [i]Las Portelas[/i] a [i]Erjos[/i], cuántas más personas seamos, menos tenemos que pagar cada uno.[br]En este caso, la [b]variable independiente[/b] sería el número de personas que hagamos la caminata y nos montemos en la guagua, y la [b]variable dependiente[/b] sería el precio que nos cueste a cada uno.[/size][br]
Ejemplo 3: Función relación Sol y agua
[size=100]Y, ¿hará mucho calor?, ¿o poco?[br]Habrá que prevenir por si acaso. Por eso, hay que llevar muchas botellas de agua para no deshidratarnos.[br]¿Cuántas botellas se gastarán?, ¿qué cantidad de agua beberemos en total?[br]Depende del calor que haya. Cuanto más calor, más agua beberemos.[br]Por eso mismo, la [b]variable independiente[/b] sería el calor que hace, que se mide, en este caso, en temperatura, y la [b]variable dependiente[/b] sería la cantidad de agua que bebemos entre todos, debido a que esta depende de la otra.[/size][br][br][br]
Presentaciones de una función: Tabla-lenguaje cotidiano-gráfica-fórmula
[justify]Una función está formada por dos magnitudes o variables, en la que una de ellas es dependiente de la otra.[br]Así, si sucede que dos magnitudes son dependientes, podemos expresar esta dependencia mediante una [b]fórmula[/b], una [b]tabla[/b] o una [b]gráfica[/b].[br]Las funciones pueden ser expresadas mediante cualquiera de las opciones anteriores.[/justify][list][justify][/justify][*]En el caso de la [b]tabla[/b], se describen dos columnas (una con la variable independiente y otra con la variable dependiente), en donde se exponen los datos de ambas.[/*][*]En el caso del [b]lenguaje cotidiano[/b], se expresa como varía una respecto a la otra. Ejemplo: "Cada tres kilómetros que caminamos, tenemos que beber medio litro de agua". La cantidad de agua bebida depende del recorrido que realicemos.[br][/*][*]Las funciones se pueden expresar también con una [b]fórmula[/b]. Se define x como la variable independiente, la cual puede valer cualquier número, y se define como y = f(x) la variable dependiente. Es decir, el valor de y depende siempre del valor que se le dé a x. Recordar que al valor de f(x) se le denomina "Imagen de x".[br][/*][*]Y, por último, las funciones también se pueden expresar mediante [b]gráficas[/b]. En el eje OX de la gráfica se escriben los diferentes valores que toma la variable independiente (x) y en el eje OY, los valores de la variable dependiente (f(x) o y).[/*][/list][br][br]
Presentación de una función en una tabla
[size=100][justify]En el ejemplo que se muestra en la tabla, la variable independiente es la distancia recorrida y la variable dependiente se corresponde con la altitud. Es decir, el valor de la altitud depende de la distancia que hayamos recorrido.[br]Por ejemplo, si hemos recorrido 5 km, estaremos a 400 m de altura respecto al mar. Si, en cambio, hemos recorrido 10, nos encontraremos a 315 m de altura.[br][/justify][/size]
Presentación de una función en una gráfica
[size=100]Esta gráfica se corresponde con los valores de la tabla anterior. De la misma manera, la variable independiente es la distancia recorrida y la variable dependiente se corresponde con la altitud. [br]En el eje OX se sitúan los kilómetros recorridos, y dependiendo del número de kilómetros recorridos, se establece una altitud (eje OY). Por esos se describen los puntos que se encuentran en la gráfica. Posteriormente se une mediante segmentos y se crea la función que representa a la altitud respecto a los kilómetros recorridos.[/size]
Presentación de una función en lenguaje cotidiano
[size=100]Para expresar la función en lenguaje cotidiano una persona diría, "leyendo" la tabla anterior y con otras informaciones:[br]"La caminata se empezó a 300 metros de altitud. El principio de la caminata fue muy duro. Fue una continua subida. Cuando llevábamos un kilómetro recorrido, habíamos subido 20 metros de altura, y cuando hicimos otros kilómetro, se subió 30 metros más. En el tercer kilómetro se subió 20 metros y en los dos siguientes 30 metros más. En este momento fue donde se alcanzó el punto más alto de la caminata y se empezó a bajar. En los 4 primeros kilómetros se bajaron 50 metros, en donde en los dos primeros se bajaron 20, y en los otros, el resto. El siguiente kilómetro fue muy doloroso, la bajada era muy inclinada, se bajaron 35 metros de altura. Para acabar la caminata y llegar al lugar de inicio tuvimos que hacer medio kilómetro más de recorrido y llegar a los 10.5 km".[/size]
Presentación de una función con una fórmula
[size=100]La fórmula que corresponde a la función que hemos desglosado sería la que se presenta en la imagen.[br]De momento, no es necesario que entiendas la fórmula, sino que te familiarices con que hay fórmulas que ejemplifican las distintas funciones.[br][/size][size=100]En este caso, cada fórmula corresponde con un tramo de la excursión.[/size]
Continuidad
Continuidad
Una función f es [b]continua[/b] sobre un intervalo si la curva que la representa tiene un trazo continuo. Los puntos en los que la función no es continua se llaman puntos de discontinuidad. Una función que tiene al menos un punto de discontinuidad, se denominará [b]función discontinua[/b]. En caso contrario, se llama [b]función continua[/b].
Distinción entre función continua y discontinua
[size=100]La primera función de la figura es continua porque no nos hace falta levantar el lápiz para poder dibujarla. En cambio, la segunda es discontinua, porque se produce un salto en la función. El punto en el que se produce el salto se denomina punto de discontinuidad, debido a que en él la función deja de ser continua.[/size]
[size=100]La gráfica que se presenta es una función discontinua, pues presenta distintos puntos de discontinuidad. El valor de f(x) cuando x es un punto de discontinuidad es donde el punto está cerrado. Así, por ejemplo, el valor de la imagen en x=1, es 1, debido a que está señalado con un punto. Lo mismo sucede con la imagen de x=-1, la cual es -1, y en muchos otros puntos. [br][br][/size]
[size=100]En este caso, la gráfica representa a una función continua, ya que se puede escribir la gráfica sin despejar el lápiz del papel.[/size]
Las gráficas en la prensa
Las [b]funciones[/b] aparecen en la [b]prensa[/b] de manera cotidiana. Normalmente se encuentran representadas por una gráfica donde ejemplifican la relación que existe entre dos variables.[br]
En el periódico [i]El Guanche[/i] en la editorial del día 15/03/2018 se expuso una noticia que se titulaba [br]"Cuanta más lluvia, más llenos los embalses". Especificando en el documento que [br]"el porcentaje de ocupación del embalse situado en la montaña de [i]Taco[/i] ([i]Buenavista[/i]) aumenta según el número de litros de agua por metro cuadrados, caídos en una hora". [br]A continuación, se expone la noticia publicada. Léela y responde a las preguntas.
Cuanta más lluvia, más llenos los embalses
Actividad de Avance 16
Responde a las siguientes preguntas:[br]1-. ¿Qué sucede con el porcentaje de ocupación del embalse, si aumenta el número de litros por metros cuadrados caídos en una hora?[br]2-. ¿Qué característica tiene la gráfica en torno al crecimiento o decrecimiento de ella?[br]3-. ¿Cuál es el porcentaje de ocupación del embalse, si han caído 17 litros por metros cuadrado?, ¿y si han caído 35?
PR-TF 52 Erjos-Las Portelas
La caminata que vamos a hacer es [url=http://www.tenerife.es/portalcabtfe/images/PDF/temas/medio_ambiente/24PRTF52ErjosLasPortelasMA.pdf]PR-TF 52 Erjos-Las Portelas[/url].[br]A continuación, se muestra una gráfica del sendero en cuestión.[br]Debes analizarla y responder a las preguntas que se proponen.
Actividad preparación de la caminata
Responde a las siguientes preguntas, explicando el porqué de tus respuestas:[br]1-. Cuando empecemos a realizar la caminata, ¿estaremos subiendo, bajando o llaneando?[br]2-. ¿Cuánto kilómetros habremos recorrido, de manera aproximada, si estamos en el punto máximo de altura del sendero?[br]3-. ¿Qué característica tiene el sendero desde el kilómetro 1 al 5?[br]4-. ¿[i]Fuente Finela[/i] es un punto máximo o mínimo relativo del sendero? ¿y el [i]Cruce PRTF52.1[/i]?[br]5-. ¿Cuál de las siguientes localizaciones está a mayor altura respecto al nivel del mar: [i]Erjos[/i] o [i]Las Portelas[/i]? ¿A qué altura está cada una?[br]6-. ¿Habrá algún momento durante la caminata en el que tengamos que subir? Indica en qué momento sucederá.[br]7-. Busca en [url=http://www.tenerife.es/portalcabtfe/images/PDF/temas/medio_ambiente/24PRTF52ErjosLasPortelasMA.pdf]PR-TF 52 Erjos-Las Portelas[/url] el material necesario para llevar la caminata. Pista: Busca [i]Equipo necesario.[br][/i]8-. ¿Estaremos cerca del mar en algún momento de la caminata? ¿Cuál es la altura mínima?[br]9-. ¿Qué señal nos permite continuar por el camino? ¿Cuál nos impide continuar? Busca dichas señales en [url=http://www.tenerife.es/portalcabtfe/images/PDF/temas/medio_ambiente/24PRTF52ErjosLasPortelasMA.pdf]PR-TF 52 Erjos-Las Portelas[/url] [br]10-. Si la guagua nos cobra 70 euros, ¿cómo es la función que relaciona el número de personas que vamos y el precio que tenemos que pagar cada uno? ¿cuánto tenemos que pagar cada uno si vamos 20 personas?