1) Tutta la goniometria riguarda [b]una circonferenza di raggio 1.[/b] Per [b]capire[/b] la maggior parte delle cose bisogna disegnarla o averla davanti.[br]2) La calcolatrice va settata in radianti.[br]3) In questa attività ci occupiamo solo degli angoli tra 0 e 2[math]\pi[/math] (0 incluso, 2[math]\pi[/math] escluso)

Nella prima animazione vediamo che ad ogni angolo (compreso tra 0 e 2[math]\pi[/math]) con vertice nell'origine O, corrisponde una diversa posizione del punto P, che ruota sulla circonferenza. Mentre il punto P si muove, cambia l'angolo e cambiano le coordinate del punto P. [b]Si può quindi stabilire una corrispondenza tra gli angoli e le coordinate di P.[/b][br]Ad esempio, quando l'[color=#ff0000]angolo vale 0 radianti[/color] la [color=#ff0000]x di P vale 1[/color] e la [color=#ff0000]y di P vale 0[/color] (puoi controllare nell'animazione)

Nel prossimo grafico, ci sono le [b]IMPORTANTISSIME[/b] definizioni geometriche delle funzioni [b]SENO[/b] e [b]COSENO[/b]. Cliccando sul punto P e trascinandolo, si vede come le funzioni seno e coseno sono semplicemente le coordinate di P, che a sua volta si trova sulla circonferenza in una posizione data dall'angolo [math]\alpha[/math][br][br]Collegando il punto P con l'origine e con la sua proiezione sull'asse delle ascisse (x[sub]P[/sub]) si ottiene il [color=#00ff00][b]triangolo rettangolo[/b][/color] [color=#00ff00][b]T[sub]r[/sub] [/b][/color](tranne quando P si trova sugli assi ovviamente). I quadrati di seno e coseno di [math]\alpha[/math] rappresentano le aree dei quadrati costruiti sui cateti che, per il teorema di Pitagora, sommate danno il quadrato costruito sull'ipotenusa. Ma l'ipotenusa è il raggio, che vale 1, quindi si ha l'identità fondamentale:[br][br][math] \Large SEN^2(\alpha)+COS^2(\alpha)=1^2=1[/math]

Nel prossimo grafico invece vedremo la definizione geometrica della tangente di un angolo.[br]Le coordinate di P c'entrano, ma lo vedremo alla fine.[br]Gli elementi importanti sono due rette e un punto: [br]- la [b][color=#333333]prima retta[/color][/b] è quella che passa per P e per l'origine, che forma con l'asse delle ascisse l'angolo [math]\alpha[/math].[br]- La [color=#ff7700][b]seconda retta[/b][/color] è invece una retta verticale [i][color=#ff7700][b]tangente[/b][/color][/i] alla circonferenza e passante per il punto B(1,0).[br]- Il punto è [color=#ff0000][b]il punto T[/b][/color], intersezione tra le due rette.[br]La tangente dell'angolo [math]\alpha[/math] è [color=#ff0000][b][u]la y del punto T[/u][/b][/color] (la sua x invece è sempre 1).

Il coefficiente angolare della [b]retta[/b] che passa per T e per l'origine è, se ricordate la formula:[br][br][math]\Large m=\frac{y_T-y_O}{x_T-x_O}[/math][br][br]ma le coordinate dell'origine sono entrambe zero, e la [math]\Large x_T = 1[/math], quindi in definitiva[br][br][math]\Large m=\frac{y_T-y_O}{x_T-x_O}=\frac{y_T-0}{1-0}=y_T[/math][br][br]Questo è il primo risultato importante: [color=#ff7700][b]la tangente di un angolo esprime il coefficiente angolare della retta passante per l'origine che forma quell'angolo con l'asse delle x.[br][/b][/color][color=#333333]Lo stesso discorso si potrebbe fare[/color][color=#333333] per il punto P (anche lui si trova sulla stessa retta). In questo caso il coefficiente angolare diventerebbe:[/color][br][br][math]\Large m=\frac{y_P-y_O}{x_P-x_O}[/math][br][br]Anche in questo caso le coordinate dell'origine sono zero, mentre le coordinate di P abbiamo già visto cosa rappresentano. Quindi [br][br][math]\Large m=\frac{y_P-y_O}{x_P-x_O}=\frac{y_P}{x_P}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)[/math][br][br][color=#333333]Secondo risultato importante:[/color][color=#00ff00][b] la tangente può essere definita anche come rapporto tra seno e coseno[/b].[/color][br]