Diketahui elips [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]. Buktikan bahwa himpunan titik-titik A, di luar elips, di mana kedua garis singgung elips dari A saling tegak lurus merupakan lingkaran [math]x^2+y^2=a^2+b^2[/math].
Pertama akan ditunjukkan buktinya menggunakan GeoGebra. [br]Untuk melihat kebenaran bahwa himpunan titik-titik di luar elips di mana kedua garis singgung elips dari titik tersebut saling tegak lurus merupakan sebuah lingkaran, lakukan aktivitas berikut ini.[br][list=1][*]Gunakan slider a atau b (geser titiknya) untuk mengubah-ubah nilai a atau b. Perhatikan apa yang terjadi dengan elips, titik-titik A, B, dan C, serta kedua garis singgungnya.[/*][*]Gerakkan (pindahkan) titik A (atau Klik tombol [b]Play[/b]). Perhatikan apa yang terjadi dengan elips, titik-titik singgung B dan C, serta kedua garis singgungnya. Klik tombol [b]Reset[/b] (panah melingkar) untuk menghapus jejak titik A. [/*][/list]
Ketika Anda mengubah nilai a atau b (menggerakkan titik pada slider a atau b), apa yang terjadi dengan elips dan persamaannya?
Ketika Anda mengubah nilai a atau b (menggerakkan titik pada slider a atau b), apa yang terjadi dengan titik A?
Dapatkah Anda menggerakkan atau memindah titik A secara bebas? Mengapa (syarat apa yang harus dipenuhi oleh titik A)?
Ke mana Anda dapat menggerakkan (memindah) titik A?
Berupa apa jejak (lintasan) titik A? Bagaimana hubungan persamaan lintasan titik A dan persamaan elips?
[list=1][*]Persamaan elips yang diberikan adalah [math] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 [/math]. [/*][*]Misalkan titik [math]A(h,k)[/math] di luar elips dan dua garis singgung elips dari titik A saling tegak lurus. [/*][*]Misalkan garis singgung elips yang melalui [math]A(h,k)[/math] memiliki gradien [math]m[/math]. [/*][*]Maka, persamaan garis singgungnya adalah [math]y=m(x-h)+k[/math]. [/*][*]Karena garis ini menyinggung elips, maka berlaku [br][math] \frac{x^2}{a^2}+\frac{(m(x-h)+k)^2}{b^2}=1[/math] atau [math] \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2(x-h)^2+2km(x-h)+k^2}{b^2}=1[/math][/*] atau [math](a^2m^2+b^2)x^2-2a^2m(hm-k)x+a^2(m^2h^2-2hkm+k^2-b^2)=0[/math].[br][*]Ini merupakan persamaan kuadrat dalam [math]x[/math] untuk mencari titik singgung. Artinya persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu penyelesaian, sehingga diskriminannya harus nol. Artinya, [math]\{2a^2m(hm-k)\}^2-4(a^2m^2+b^2)\{a^2(m^2h^2-2hkm+k^2-b^2)\}=0[/math] atau [math](h^2−a^2)m^2−2hkm+(k^2−b^2)=0[/math].[/*][*]Jika dipandang sebagai persamaan kuadrat dalam [math]m[/math], maka solusinya adalah [math]m_1[/math] dan [math]m_1[/math] dengan [math]m_1m_2=\frac{k^2-b^2}{h^2-a^2}[/math]. [/*][*]Karena [math]m_1[/math] dan [math]m_1[/math] merupakan gradien kedua garis singgung yang saling tegak lurus, maka [math]m_1m_2=-1[/math] sehingga [math]h^2+k^2=a^2+b^2[/math].[/*][*]Karena [math]A(h,k)[/math] dipilih sebarang, maka lokus [math]A(h,k)[/math] adalah [math]A(x,y)[/math] [br]yang memenuhi [math]x^2+y^2=a^2+b^2[/math], yang merupakan persamaan lingkaran.[br][/*][/list]