Auf diesem Arbeitsblatt soll es um das Lösen von quadratischen Gleichungen gehen. Eine quadratische Gleichung ist dabei eine Gleichung, in der "irgendwo ein x²" auftaucht. Verboten sind höhere Potenzen wie zum Beispiel x³. Ein Beispiel wäre [br][center][math]3x^2+5x-8=2x+7[/math][/center][br]Manchmal taucht x² auch auf beiden Seiten der Gleichung auf:[br][center][math]3x^2+5x-8=-2x^2+2x+7[/math][/center]Im Allgemeinen bringen wir die Formel in die normalisierte Form und fassen alle Terme mit [math]x^{^2}[/math]zusammen wie auch alle Terme mit [math]x[/math] und alle normalen Zahlen. Damit erhalten wir die allgemeine Form von quadratischen Gleichungen:[br][br][math]x^{^2}+px+q=0[/math]

Im folgenden soll es nun darum gehen, wie man diese quadratische Gleichung lösen kann (also wie man heraus findet, für welche Werte von [math]x[/math]sie wahr ist.):[br][center][br] [math]x^2+px+q=0[/math] [br][br]mit zwei beliebigen Zahlen p und q.[br][/center]

Grundsetzlich können p und q auch Null sein. Und so kann man drei verschiedene Typen von Gleichungen unterscheiden:[br][br][table][br][tr][br][td][math]x^2-2=0[/math][/td][br][td][math]\longrightarrow[/math] Typ 1, weil kein "mittlerer x-Term" enthalten ist, also [math]p=0[/math][/td][br][/tr][br][tr][br][td][math] x^2-2x=0 [/math][/td][br][td][math]\longrightarrow[/math] Typ 2, weil "nur ein mittlerer x-Term" enthalten ist, also [math]q=0[/math][/td][br][/tr][br][tr][br][td][math] x^2+2,5x-4=0 [/math][/td][br][td][math]\longrightarrow[/math] Typ 3, weil "x-Term und Zahl" enthalten sind[/td][br][/tr][br][/table][br]Schaue nun in den folgenden Aufgaben, ob du die drei Typen schon erkennen kannst!

Nun kennst du die drei möglichen Typen, in denen die quadratische Gleichung auftreten kann.[br][br]Schauen wir den ersten Typ an. [math]x^{^2}-q=0[/math][br][br]Hier haben wir einen Teil [math]x^{^2}[/math] und eine ganz normale Zahl. Hier ein Beispiel:[br][br]Aus [math]x^{^2}-16=0[/math] wird im ersten Schritt, wenn wir die Zahl auf die andere Seite bringen, zu:[br][br][math]x^2=16[/math][br][br]und nach dem zweiten Schritt (Wurzel ziehen) erhalten wir:[br][br][math]x=\pm4[/math][br][br]Und damit können wir zwei mögliche Lösungen angeben: [br][br][math]x_1=4,x_2=-4[/math][br][br]Schaue in den folgenden Aufgaben, ob du es selber schaffst! [br]Beachte dabei alles, was du bereits über das Wurzel ziehen weißt![br][br]Insgesamt also machen wir 2 Äquivalenzumformungen für den [b]Typ 1[/b]:[br][br][list=1][*]die [b]Zahl auf die andere Seite[/b] der Gleichung bringen (erste Äquivalenzumformung)[/*][*]dann die [b]Wurzel ziehen[/b] (zweite Äquivalenzumformung)[/*][/list][br]und können dann die Lösungsmengen angeben.[br][br]Schau mal, ob du es selbst schaffst! Nimm dir Papier und Stift für die folgenden Übungen.[br]

Klasse! Somit hast du Typ 1 schon kennen gelernt. Der Typ 2 sieht so aus (zur Erinnerung): [br][br][math]x^{^2}+px=0[/math][br][br]Nehmen wir als Beispiel [math]p=8[/math]. So haben wir:[br][br][math]x^2+8x=0[/math][br][br]Wir können das [math]x[/math] ausklammern:[br][br][math]x\left(x+8\right)=0[/math][br][br]Und jetzt können wir ablesen, dass diese Gleichung stimmt, wenn entweder [br][br][math]x=0[/math], weil [math]0\times\left(0+8\right)=0[/math] ist,[br][br]oder aber [br][br][math]x+8=0[/math], weil [math]x\times\left(0\right)=0[/math][br][br]ist. Und damit finden wir die Nullstellen: [br]Aus [math]x=0[/math] die erste Nullstelle:[br][math]x_1=0[/math] [br]und aus [math]x+8=0[/math] die zweite, indem wir die [math]8[/math] auf die andere Seite bringen: [math]x=-8[/math] und damit[br][br] [math]x_2=-8[/math].[br][br]Wenn wir also [b]Typ 2 [/b]erkennen können, müssen wir [br][list=1][*]einmal [b]ausklammern[/b] [/*][*]und dann [b]ablesen[/b]. [/*][/list][br]Im Folgenden kannst du dich testen. Nimm dir dein Heft, schreibe die Gleichung auf, übe das Ausklammern und Ablesen. Trage dann unten die Nullstellen der jeweiligen Aufgabe ein.

Die pq-Formel noch einmal zur Erinnerung: Für die Gleichung der Form[br][br][math]x^{^2}+px+q=0[/math][br][br]Haben wir im Unterricht die [b]p/q Formel [/b]der Lösungen hergeleitet. Sie gilt allgemein für alle p und q:[br][br][math]x_{^1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math] und [math]x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{^2}-q}[/math][br][br]Wenn du in den folgenden Beispielen die p/q Formel einsetzt, achte darauf, ob die Zahl unter der Wurzel vielleicht negativ wird. Wenn das der Fall ist, gibt es wie immer keine Lösung.[br][br]Deine Strategie für Gleichungen vom [b]Typ 3[/b] ist also:[br][br][list=1][*][b]Lies p und q[/b] aus der Formel ab[/*][*]Setze sie in die [b]p/q Formel [/b]ein ([b][i]auswendig lernen![/i][/b])[/*][/list]Somit kannst du die Lösungsmenge direkt angeben.[br][br]Nimm dir Papier und Stift für die folgenden Übungen.

Heute hast du drei verschiedene Strategien geübt, um quadratische Gleichungen zu lösen:[br][list][*]Typ 1: auf die andere Seite bringen und Wurzel ziehen[/*][*]Typ 2: Ausklammern und ablesen[/*][*]Typ 3: die p/q Formel anwenden.[/*][/list]Die [b]p/q - Formel solltest du am besten auswendig[/b] lernen, denn du kannst sie [b]immer[/b] anwenden (sogar wenn du die anderen beiden Strategien vergessen solltest.)[br][br]Du kannst also im Prinzip alle quadratischen Gleichungen mit der p/q Formel lösen, sparst dir aber durch die zwei anderen Methoden Zeit und verringerst deine Fehlerquellen.[br][br]Hier ist die p/q Formel noch einmal:[br][br]Für die Gleichung [math]x^{^2}+px+q=0[/math] gibt es die Lösungen:[br][br][math]x_{^1}=-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math] und [math]x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{^2}-q}[/math][br][br]falls der Term unter der Wurzel [math]\ge0[/math] ist.[br]