Veamos un par de aplicaciones del Teorema sobre la clasificación de puntos críticos a partir del desarrollo de Taylor de orden [math]2[/math].[br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] El primer ejemplo es justamente el que fue discutido usando la estructura algebraica misma de la ecuación. La función es [math]f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy[/math]. Los puntos críticos son [math](-1,1),\ (0,0),\ (1,1)[/math].[br][br]La Hessiana en un punto genérico es,[br][br][math][br]H(x,y)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]12x^{2} & -4\\[br]-4 & 12y^{2}[br]\end{matrix}[br]\right)[br][/math][br][br]De aquí que,[br][br][math][br]H(-1,1)=H(1,1)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]12 & -4\\[br]-4 & 12[br]\end{matrix}[br]\right),[br]\quad[br]H(0,0)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]0 & -4\\[br]-4 & 0[br]\end{matrix}[br]\right)[br][/math][br][br]Tenemos [math]{\rm det}H(0,0)=-16<0[/math] por lo tanto [math](0,0)[/math] es un punto de silla. Para los otros puntos críticos tenemos [math]{\rm det}H(1,1)={\rm det}H(-1,-1)=128>0[/math] y la primera entrada igual a [math]12>0[/math]. Por lo tanto ambos puntos son mínimos relativos. [br][br]Es evidente la simpleza del método en comparación al trabajo particular, manual si se quiere, que si hizo inicialmente para distinguir la naturaleza de los tres puntos críticos.[br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Consideremos la función [math]f(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2}-1)^{2}}[/math]. Queremos buscar máximos y mínimos relativos. Primero buscamos los puntos críticos, para ellos necesitamos resolver,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=-2(x^{2}+y^{2}-1)2xe^{-(x^{2}+y^{2}-1)^{2}}=0,\\[br]& \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-2(x^{2}+y^{2}-1)2ye^{-(x^{2}+y^{2}-1)^{2}}=0[br]\end{align}[br][/math][br][br]Esto equivale a resolver,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& (x^{2}+y^{2}-1)x=0,\\[br]& (x^{2}+y^{2}-1)y=0.[br]\end{align}[br][/math][br][br]Cuyas soluciones son, el círculo [math]x^{2}+y^{2}=1[/math] y el origen [math](0,0)[/math]. [br][br]Analicemos el punto crítico [math](0,0)[/math]. Calculamos la matriz Hessiana,[br][br][math][br]H(0,0)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\frac{4}{e} & 0\\[br]0 & \frac{4}{e}[br]\end{matrix}[br]\right)[br][/math][br][br]El determinate es positivo y su primera entrada positiva. Concluimos que [math](0,0)[/math] es un mínimo local. [br][br]Analicemos ahora los puntos críticos sobre el círculo [math]x^{2}+y^{2}=1[/math]. Pongamos entonces que [math](x_{0},y_{0})[/math] es tal que [math]x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1[/math]. Calculamos la matriz Hessiana,[br][br][math][br]H(x_{0},y_{0})=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]-8x_{0}^{2} & -8x_{0}y_{0}\\[br]-8x_{0}y_{0} & -8y_{0}^{2}[br]\end{matrix}[br]\right)[br][/math][br][br]El determinante es cero, lo que implica que uno de los valores propios de la Hessiana es cero y por lo tanto el teorema no da información sobre la naturaleza del punto crítico. En este momento hay dos opciones, o se mira el desarrollo de Taylor a orden superior, o se inspecciona la expresión misma de la función para intentar extraer conclusiones. En este caso esta última opción es relativamente sencilla. Para ello observamos que, si [math]b\geq 0[/math], entonces, [math]e^{-b}\leq 1[/math]. Por lo tanto, como [math](x^{2}+y^{2}-1)^{2}\geq 0[/math] tenemos [math]f(x,y)\leq 1[/math]. Por otro lado, [math]f(x_{0},y_{0})=e^{0}=1[/math]. De aquí que,[br][br][math][br]f(x,y)\leq f(x_{0},y_{0})[br][/math][br][br]de donde conlcuimos que [math](x_{0},y_{0})[/math] es un máximo local, pero también absoluto! La figura debajo muestra la gráfica de la función.

[b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Analicemos la función [math]f(x,y)=x^{3}-2xy^{2}[/math]. Los puntos críticos son las soluciones de,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& 3x^{2}-2y^{2}=0,\\[br]& -4xy=0[br]\end{align}[br][/math][br][br]cuya única solución es [math](0,0)[/math]. La matriz Hessiana en dicho punto es,[br][br][math][br]\begin{align}[br]H(0,0)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]0 & 0\\[br]0 & 0[br]\end{matrix}[br]\right)[br]\end{align}[br][/math][br][br]El desarrollo de Taylor a orden dos de [math]f(x,y)[/math] es idénticamente cero! A este orden no es posible extraer ninguna conclusión. Para decidir la naturaleza del punto crítico es necesario o bien analizar el desarrollo de Taylor a un orden superior. Pero en este caso sin embargo [math]f(x,y)[/math] es su mismo desarrollo de orden [math]3[/math]! Es fácil ver que el [math](0,0)[/math] es de hecho un punto que no es ni un máximo ni un mínimo relativo. Simplemente evaluamos a [math]f(x,y)[/math] en [math]x=y[/math], obteniendo [math]f(x,x)=-x^{3}[/math] que en un entorno de cero toma valores positivos y negativos, es decir, por encima y debajo de su valor en [math](0,0)[/math]. El gráfico de la función puede verse debajo. Observe que el punto es similar a un punto silla pero no es un punto silla.

[b][u][color=#1e84cc][size=150]Prueba del Teorema de clasificación de puntos críticos.[br][/size][/color][/u][/b][br][b][color=#980000]Prueba.[/color][/b] Vamos a probar el primer caso solamente (ver caso [1] en el enunciado del teorema en la sección anterior). El caso [2] se hace igual al [1] y el caso [3] queda como un simple ejercicio.[br][br]Supongamos para comenzar que [math](x_{0},y_{0})[/math] es un punto crítico y que la función [math]f(x,y)[/math] tiene el siguiente desarrollo de Taylor a orden dos,[br][br][math][br]f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\frac{1}{2}\left(\mu (x-x_{0})^{2}+\nu (y-y_{0})^{2}\right)+R_{2}(x,y),[br][/math][br][br]con [math]\lambda>0[/math], [math]\mu>0[/math]. Es decir que la matriz Hessiana en este caso es,[br][br](1)[math][br]\quad H=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\mu & 0\\[br]0 & \nu[br]\end{matrix}[br]\right),[br][/math][br][br]y por lo tanto sus valores propios son [math]\mu\ {\rm y}\ \nu[/math]. Como [math]\mu[/math] y [math]\nu[/math], son positivos podemos asumir que [math]\mu\geq \beta[/math], [math]\nu\geq \beta[/math] para [math]\beta=\min\{\mu,\nu\}>0[/math]. [br][br]Tenemos,[br][br](2)[math][br]\quad f(x,y)-f(x_{0},y_{0})\geq \beta((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2})+R_{2}(x,y)=\beta\|(\Delta x,\Delta y)\|^{2}\left(1+\frac{R_{2}(x,y)}{\|(\Delta x,\Delta y)\|^{2}}\right)[br][/math][br][br]donde escribimos [math](x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=\|(\Delta x,\Delta y)\|^{2}[/math]. Ahora, del teorema de Taylor sabemos que,[br][br][math][br]\lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)}\frac{R_{2}(x,y)}{\|(\Delta x,\Delta y)\|^{2}}=0.[br][/math][br][br]De aquí que si [math]\|(\Delta x,\Delta y)\|^{2}\leq \epsilon[/math] con [math]\epsilon>0[/math] suficientemente pequeño, tenemos que,[br][br][math][br]\bigg|\frac{R_{2}(x,y)}{\|(\Delta x,\Delta y)\|^{2}}\bigg|\leq \frac{1}{2}.[br][/math][br][br]Por lo tanto,[br][br][math][br]1+\frac{R_{2}(x,y)}{\|(\Delta x,\Delta y)\|^{2}}\geq \frac{1}{2}.[br][/math][br][br]Usando esta información en (2) concluimos [math]f(x,y)-f(x_{0},y_{0})\geq 0[/math] si [math]\Delta^{2}x+\Delta^{2}y\leq \epsilon[/math]. Es decir que [math]f(x,y)[/math] tiene un mínimo local en [math](x_{0},y_{0})[/math]. [br][br]¿Qué tiene que ver esto con el caso [1] del enunciado del teorema? Al fin y al cabo solo probamos que cuando la matriz Hessiana tiene una forma diagonal particular, con determinante positivo y primera entrada positiva, entonces la función tiene un mínimo local en el punto crítico. Es decir, parecería que solo probamos el caso [1] del teorema en un caso particular. El punto es que en realidad no! [br][br]La razón es la siguiente. Si [math](x_{0},y_{0})[/math] es un punto crítico y la matriz Hessiana tiene determinante positivo y primera entrada positiva, entonces tiene valores propios positivos, (digamos [math]\mu>0,\nu>0[/math]) y existe una base de vectores propios ortonormales, (digamos [math]V_{\mu},V_{\nu}[/math]). Es decir [math]\|V_{\mu}\|=1[/math], [math]\|V_{\nu}\|=1[/math], [math]\langle V_{\mu},V_{\nu}\rangle = 0 [/math], y [math]HV_{\mu}=\mu V_{\mu},\ HV_{\nu}=\nu V_{\nu}[/math].[br][br]Podemos usar entonces dichos vectores propios para construir un nuevo sistema de coordenadas [math](\bar{x},\bar{y})[/math] centrado en [math](x_{0},y_{0})[/math] cuyos ejes vayan precisamente en su dirección. En otras palabras, la relación entre [math](x,y)[/math] y [math](\bar{x},\bar{y})[/math] es,[br][br][math][br](x,y)=(x_{0},y_{0})+\bar{x}V_{\mu}+\bar{y}V_{\nu}.[br][/math][br][br]El siguiente ejercicio explica que sucede con el Hessiano al usar las coordenadas [math](\bar{x},\bar{y})[/math] (¿Puede hacerlo?).[br][br][b]Ejercicio.[/b] Demostrar usando la regla de la cadena, que [math]f(\bar{x},\bar{y})[/math] tiene matriz Hessiana en [math](\bar{x},\bar{y})=(0,0)[/math] igual a la de la expresión (1)! [br][br]Finalmente, usando este ejercicio y el cálculo hecho anteriormente, deducimos que [math]f(x,y)[/math] tiene un mínimo local.[br]