Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Pengenalan Fungsi Kuadrat menggunakan Balok Aljabar

Balok aljabar membantu kita melihat bentuk fungsi kuadrat secara visual. Setiap balok mewakili bagian dari persamaan:[br][list][*]balok [b]x²[/b] sebagai area persegi besar,[br][br][/*][*]balok [b]x[/b] sebagai area persegi panjang,[br][br][/*][*]balok [b]konstanta[/b] sebagai kotak kecil.[br][br][/*][/list]Dengan menyusun balok-balok ini menjadi sebuah persegi atau hampir-persegi, kita dapat memahami bahwa fungsi kuadrat sebenarnya menggambarkan [b]luas sebuah bentuk persegi[/b]. Saat balok-balok disusun hingga membentuk persegi sempurna, kita sedang melakukan proses [b]melengkapi kuadrat (completing the square)[/b].

Eksplorasi Diskriminan dengan Grafik Kuadrat

Aplet ini memungkinkan murid memanipulasi nilai [b]a[/b], [b]b[/b], dan [b]c[/b] dalam fungsi kuadrat [math](y=ax^2+bx+c)[/math]. Saat slider digerakkan, grafik parabola berubah secara langsung sehingga murid dapat melihat hubungan antara koefisien dan bentuk grafik.[br][br]Di samping grafik, murid juga dapat mengikuti langkah-langkah perhitungan nilai [b]diskriminan[/b][br][br][math]\text{(\Delta= b^2 - 4ac)}[/math][br][br]serta rumus akar kuadrat:[br][br][math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.[/math]

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat[br]Bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah [math]f(x)=ax2+bx+c[/math][br]Efek koefisien a[list][*]Jika a>0: parabola terbuka ke atas → grafik seperti “cawan”.[br][/*][*]Jika a<0: parabola terbuka ke bawah → grafik seperti “terbalik”.[br][/*][*]Semakin besar |a|, semakin “sempit” kurvanya (lebih curam). Semakin kecil |a| (tapi ≠0) maka kurva lebih “lebar”.[/*][/list]Efek koefisien b[list][*]Nilai b memengaruhi letak titik puncak terhadap sumbu y (bergerak ke kiri atau kanan).[br][/*][*]Jika b=0, sering titik puncak berada simetris di sumbu y (jika c juga simetri).[br][/*][*]Perubahan b juga memengaruhi sumbu simetri yang memiliki persamaan[math]x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab.[/math][br][/*][/list]Efek koefisien c[list][*]c adalah nilai f(0), yaitu titik potong grafik dengan sumbu y.[br] → Jika c>0: grafik memotong sumbu y di atas titik asal (0,0).[br] → Jika c<0: memotong di bawah asal.[br][/*][*]Jadi perubahan c menggeser parabola vertikal (ke atas/ke bawah).[br][br][br][/*][/list]

Cara Faktorisasi Untuk Mencari Akar Pada Persamaan Kuadrat

Penggunaan ilustrasi perkalian silang untuk menemukan variabel [math]x^2[/math] dan konstanta serta penambahan hasil kali silang dapat mempermudah penghitungan. Yang mana didapat penghitungan awal yaitu [math](ax+c)[/math][math](bx+d)=x^2+bx+ax+cd[/math]. Sehingga nilai dari x atas dikalikan dengan konstanta bawah dan nilai x bawah dikalikan dengan konstanta atas serta hasil kali masing-masingnya akan ditambah maka akan ditemukan persamaan yang dicari. Kemudian didapat nantinya akar penyelesaian [math](ax+c)[/math] dan [math](bx+d)[/math].[br]Kemudian untuk mencari nilai akarnya kedua penyelesaian [math](ax+c)[/math] dan [math](bx+d)[/math] disamadengankan sehingga [math](ax+c)=0[/math] dan [math](bx+d)=0[/math], dan kemudian mencari nilai x dengan mengurangkan dan membagikan dengan angka yang sama maka akan didapat akar-akarnya yaitu [math]x=\frac{a}{c}[/math] dan [math]x=\frac{b}{d}[/math].[br]Cara penggunaan:[br][list=1][*]Isilah terlebih dahulu kotak abu–abu pada nomor 2.[br][/*][*]Jika salah coba lagi sampai benar atau bisa klik show steps untuk melihat hasil [math](ax+c)[/math] dan [math](bx+d)[/math].[br][/*][*]Pada nomor 2 mencari akar-akarnya, hitunglah akar dan masukkan ke kotak abu-abu yang sudah disediakan.[br][/*][*]Jika salah coba hitung lagi atau bisa tekan show steps untuk mencari jawaban[br][/*][*]Jika dirasa sudah bisa, coba soal yang lebih susah dengan menekan tombol kuning di bawah kanan dan menyesuaikan dengan persamaan yang ingin diselesaikan.[br][/*][*]Selamat mecoba.[br][/*][/list]

Hubungan Akar-Akar dan Bentuk Faktor pada Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum:[br][math]ax^2+bx+c=0,a\ne0.[/math][br]Salah satu konsep penting dalam persamaan kuadrat adalah akar-akar persamaan serta hubungan antara persamaan kuadrat dengan bentuk faktor.[br]File GeoGebra ini membantu murid/guru memahami hubungan tersebut secara interaktif melalui pengaturan nilai a, b, dan c.[br]Akar-Akar Persamaan KuadratAkar-akar persamaan kuadrat diperoleh dari rumus kuadrat:[br][math]x=\frac{\left(-b\pm\sqrt{\left(b^2-4ac\right)}\right)}{2a}[/math][br]Nilai di bawah tanda akar, yaitu[br][math]Δ=b^2−4ac,[/math][br]disebut diskriminan, yang menentukan jenis akar:[br]Δ > 0 → 2 akar real berbeda[br]Δ = 0 → 2 akar real kembar[br]Δ < 0 → tidak memiliki akar real[br]Pada GeoGebra, kamu dapat melihat bagaimana perubahan nilai a, b, dan c memengaruhi letak akar di sumbu-x.[br]Bentuk Faktor (Factored Form)[br]Bentuk faktor dari persamaan kuadrat adalah:[br][math]ax^2+bx+c=a(x−x_1)(x−x_2),[/math][br]dengan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan.[br]Jika akar-akar sudah diketahui, maka bentuk faktor dapat dibangun dengan mudah.[br]Hubungan Akar dengan Bentuk Faktor[br]Persamaan kuadrat [math]ax^2+bx+c[/math][br]dapat dikaitkan dengan akar-akar sebagai berikut:[br][list=1][*]Penjumlahan akar[/*][/list][math]x_1+x_2=-ba[/math][br][list=1][*]Perkalian akar[/*][/list][math]x_1x_2=ca[/math][br]Dari hubungan ini, murid dapat:[br]memahami bagaimana koefisien b dan c memengaruhi akar dan membangun ulang bentuk faktor dari persamaan awal.[br]Visualisasi GeoGebra[br]Visualisasi dalam GeoGebra menampilkan:[br][list][*]Grafik fungsi kuadrat[br][/*][*]Titik potong grafik dengan sumbu-x (akar-akar)[br][/*][*]Bentuk faktor yang berubah otomatis[br][/*][*]Koefisien a, b, c yang dapat digeser[br][/*][*]Interaktifitas yang memperkuat intuisi konsep[br][/*][/list]Melalui interaksi ini, murid dapat melihat hubungan langsung antara grafik, akar, dan bentuk faktor.[br]Tujuan Pembelajaran[br]Setelah menggunakan materi dan file GeoGebra, siswa diharapkan mampu:[br][list=1][*]Menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat.[br][/*][*]Menghubungkan akar-akar dengan bentuk faktor.[br][/*][*]Menjelaskan hubungan antara grafik kuadrat dan akar-akar.[br][/*][*]Menganalisis perubahan grafik berdasarkan perubahan koefisien.[br][/*][*]Mengubah bentuk umum ke bentuk faktor, dan sebaliknya.[br][/*][/list]

Menyimpulkan

Hasil Pengamatan

Setelah kalian mengubah-ubah nilai a, b, dan c dengan cara menggeser slider. [br]Apa yang dapat kalian simpulkan tentang Grafik Fungsi Kuadrat?[br]Jawablah pertanyaan berikut![br][br]1. Bagaimana bentuk kurva grafik saat [br] * nilai a>0 maka kurva grafik terbuka ke .......[br] * nilai a<0 maka kurva grafik terbuka ke .......[br] * nilai a=0 maka kurva grafik berbentuk .......[br][br]2. Dimana letak titik puncak grafik terhadap sumbu Y saat[br] * nilai b>0 maka titik puncak grafik berada di sebelah ....... sumbu y[br] * nilai b<0 maka titik puncak grafik berada di sebelah ....... sumbu y[br] * nilai b=0 maka titik puncak grafik berada ....... sumbu y[br][br]3. Bagaimana titik potong grafik di sumbu Y terhadap titik O(0,0) saat[br] *nilai c>0 maka titik potong grafik terhadap sumbu Y berada di ....... titik O(0,0)[br] *nilai c<0 maka titik potong grafik terhadap sumbu Y berada di ....... titik O(0,0)[br] *nilai c=0 maka titik potong grafik terhadap sumbu Y berada ....... titik O(0,0)