Cálculo vectorial
Cuaderno de cálculo vectorial
Table of Contents
- Funciones vectoriales de R a R^n
- Definición de funciones vectoriales
- Angulo entre Vectores.
- Velocidad y aceleración de una curva.
- Reparametrización de una curva.
- Curva regular.
- Ejercicio. Parametrización de una curva.
- Fórmulas de Frenet-Serret.
- Funciones vectoriales de R^m a R^n
- Campos vectoriales.
- Líneas de flujo.
- Ley de Coulomb.
- Rotacional y divergencia de un campo vectorial.
- Integrales de trayectorias
- Definición de la integral de trayectoria.
- Integrales de línea para campos vectoriales.
- Integrales de superficie
- Teoremas integrales
Definición de funciones vectoriales
Definición: Función vectorial.
Sea [math]\alpha[/math][i] : (a, b) [math]\longrightarrow\mathbb{R}[/math][/i] una función, donde [i](a, b) [/i]es un intervalo abierto de[i] [math]\mathbb{R}[/math]. [/i]Escribimos:[br][br][justify] [math]\alpha[/math](t) = ([math]a_1\left(t\right)[/math], [math]a_2\left(t\right)[/math],..., [math]a_n\left(t\right)[/math])[br][br]Donde cada [math]a_j[/math] es una función de variable real.[br][br][/justify]
Campos vectoriales.
Definición:
un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano [math]X\subseteq\mathbb{R}^m[/math] es una función de variable vectorial [math]F:X\longrightarrow\mathbb{R}^m[/math]. [br][br]Es decir, un campo vectorial es una función que asigna un vector a cada punto del espacio.[br][br]Gráficamente, un campo vectorial se ve de la siguiente forma:[br][br]Sea [math]F\left(x,y\right)=\left(-y,x\right)[/math] un campo vectorial de [math]\mathbb{R}^2[/math] a [math]\mathbb{R}^2[/math].
Definición de la integral de trayectoria.
Sea [math]C\subset\mathbb{R}^n[/math] una curva suave a trozos parametrizada por una función [math]r:\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math], si [math]f:C\longrightarrow\mathbb{R}[/math] es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar [math]f[/math] sobre [math]C[/math] (también llamada integral de trayectoria), está definida como:[br][br] [math]\int_Cfds=\int_a^bf\left(r\left(t\right)\right)\parallel r'\left(t\right)\parallel dt[/math][br][br]La función [math]r:\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math] es una parametrización biyectiva arbitraria de [math]C[/math] donde [math]r\left(a\right)[/math] y [math]r\left(b\right)[/math] son los puntos iniciales y finales respectivamente.[br][br]En el caso particular cuando [math]f=1[/math] obtenemos la longitud de la curva [math]C[/math], esto es:[br][br] [math]L\left(C\right)=\int_Cds=\int_a^b\parallel r'\left(t\right)\parallel dt[/math]
Ejemplo: Mostremos mediante una integral de línea que la longitud de una circunferencia de radio [math]r[/math] es [math]2\pi r[/math].[br][br]Por simplicidad, tomaremos una circunferencia centrada en el origen, la cual puede ser parametrizada por la función [math]r\left(t\right)=\left(rcos\left(t\right),rsin\left(t\right)\right)[/math], [math]0\le t\le2\pi[/math]. Por lo que:[br][br] [math]r'\left(t\right)=\left(-rsin\left(t\right),rcos\left(t\right)\right)[/math][br] [br] [math]\parallel r'\left(t\right)\parallel=\sqrt{\left(rsin\left(t\right)\right)^2+\left(rcos\left(t\right)\right)^2}=\sqrt{r^2sin^2\left(t\right)+r^2cos^2\left(t\right)}=\sqrt{r^2\left(sin^2\left(t\right)+cos^2\left(t\right)\right)}=r[/math] [br][br]Entonces:[br][br] [math]L\left(c\right)=\int_C\parallel r'\left(t\right)\parallel ds=\int_a^b\parallel r'\left(t\right)\parallel dt=\int_0^{2\pi}rdt=rt\mid_0^{2\pi}=r\left(2\pi-0\right)=2\pi r[/math]