Na začetku je bila točka...

Hana, May 25, 2015

Geometrija je edina znanost, ki jo je Bog podaril človeštvu. (Leviathan, Thomas Hobbes)

Table of Contents

  1. Evklidska geometrija
    1. ZAKAJ DOKAZOVATI?
    2. Koti ob prečnici
    3. Zveze med stranicami trikotnika
    4. Koti trikotnika
    5. Koti v mnogokotniku
    6. Zvezda
    7. Kako načrtamo pravokotnico?
    8. TRIKOTNIK: čudes geometrije!
    9. TOGI PREMIK in SKLADNOST
    10. SKLADNOST TRIKOTNIKOV
    11. PRVI KORAKI V DOKAZOVANJE-SKLADNOST
    12. Bistra glava: skladnost
    13. Trisekcija kota s prepogibanjem lista
    14. Trisekcija kota
    15. Najkrajša pot - Heronov problem
    16. Razpolovnica pravega kota in kvadrat nad hipotenuzo
    17. Heronov obrazec za ploščino trikotnika
    18. Ploščine
    19. Ploščina trikotnika v odvisnosti polmera včrtane krožnice
    20. Pričrtane krožnice
    21. Heronov obrazec s pričtrano krožnico
    22. Pravilni mnogokotnik
    23. Skoraj pravilni mnogokotniki
    24. 8-kotnik v kvadratu
    25. Ploščina pravilnega 12-kotnika
    26. Talesov izrek o sorazmerjih
    27. TEŽIŠČE
    28. Talesov izrek
    29. Izreki o podobnosti trikotnikov
    30. Delitev daljice v razmerju zlatega reza
    31. Evklidova izreka
    32. Od Evklida do Pitagore
    33. "Pitagorov izrek" v ne pravokotnih trikotnikih
    34. Pitagorov izrek in pravilni n-kotniki
    35. Kvadrat =Krog
    36. LEGE DVEH KROŽNIC V RAVNINI
    37. Tetive-srdiščne razdalje
    38. Srdiščne razdalje-tetive
    39. Neskladni tetivi-središčni razdalji
    40. Koti v krogu
    41. Koti v tetivnem štirikotniku
    42. Še vedno v pravokotnem trikotniku
  2. Analitična geometrija-premice
    1. Koordinatni sistem v ravnini
    2. Središče daljice vzporedne koordinatni osi
    3. Središče daljice
    4. Vezalke in ploščina mnogokotnika
    5. Enačba ali linearna funkcija?
    6. Vzporednost in pravokotnost
    7. Pogoj pravokotnosti devh premic: s Pitagorovim izrekom
    8. Ostri kot med premicama
    9. Razdalja točka-premica
  3. Analitična geometrija- stožnice
    1. STOŽNICA kot presečna krivulja
    2. Copia di Conics|3D Visualisation|Animation|
    3. STOŽNICA kot geometrijsko mesto
    4. PARABOLA kot geometrijsko mesto
    5. Avtomobilski žarometi
    6. RADIOTELESKOP
    7. Parabolni odsek
    8. ELIPSA kot geometrijsko mesto
    9. Elipsa v premaknjeni legi
    10. Eliptični biljard
    11. HIPERBOLA kot geometrijsko mesto
    12. STOŽNICA kot krivulja drugega reda
    13. Dandelinovi krogli in Apolonijeve stožnice
    14. STOŽNICA s prepogibanjem lista
    15. Tangenti na stožnico
    16. PARABOLA in MNOŽENJE
    17. Geometrijsko mesto točk (primer)
  4. Trigonometrija
    1. Koti v enotski krožnici
    2. Radian
    3. Trigonometrija v enotski krožnici
    4. Trigonometrija v pravokotnem trikotniku
    5. Prva osnovna zveza v pravokotnem trikotniku
    6. sin in cos za kote 30°,45° , 60°
    7. MemoTrik
    8. Gasilska lestev
    9. Drevo
    10. Svetilnik
    11. Snežni metež
    12. Ploščina štirikotnika
    13. Štirje trikotniki in ena ploščina
    14. GRAFI KOTNIH FUNKCIJ
    15. Izpeljani grafi
    16. sin(α+β) in cos(α+β)
    17. sin(α-β) in cos(α-β)
    18. asinx+bcosx
    19. Kotne funkcije kota 15°
    20. Zlati rez in sin18° ter cos36°
    21. Obodni kot in mera tetive
    22. Sinusni izrek
    23. Kosinusni izrek
    24. Kosinusni izrek (s Pitagoro)
    25. Mesti ob jezeru
    26. Zobniki
    27. Bat, batnica in kosinusni izrek
    28. Naloga iz trigonometrije
    29. Od vasi do vasi
    30. Polarne koordinate
    31. Krivulje v polarni obliki

1.

Evklidska geometrija

V osnovni šoli si se veliko naučil o likih. Gotovo poznaš enakokraki trikotnik, pravokotnik, romb...in se spomniš obrazcev, ki ti omogočajo izračun obsegov in ploščin. Morda ti je jasen pomen vzporednosti ali pravokotnosti dveh premic in ti ni tuja trditev, da ima kvadrat štiri osi in središče simetrije. Nahajaš se v zelo podobnem položaju, v katerem so bili grški geometri, preden je Evklid napisal knjigo "Elementi". Kot grški geometri pred Evklidom imaš veliko geometrijskega znanja in ga znaš celo uporabiti pri reševanju problemskih nalog. Zelo verjetno pa ti manjka organizacija tega znanja v urejeno strukturo, v kateri so določeni pojmi postavljeni "na štartno točko" tako, da na teh lahko gradiš vsa ostala zate pomembna znanja. Z drugimi besedami: tvoje znanje še ni organizirano v teorijo. Teoretično znanje bom uvedla postopoma in ti pomagala razumeti in predvsem ceniti funkcijo, ki jo ima teorija pri pojasnjevanju uporabe lastnosti, ki jo srečaš v "geometrijski" situaciji.

  • 1. ZAKAJ DOKAZOVATI?
  • 2. Koti ob prečnici
  • 3. Zveze med stranicami trikotnika
  • 4. Koti trikotnika
  • 5. Koti v mnogokotniku
  • 6. Zvezda
  • 7. Kako načrtamo pravokotnico?
  • 8. TRIKOTNIK: čudes geometrije!
  • 9. TOGI PREMIK in SKLADNOST
  • 10. SKLADNOST TRIKOTNIKOV
  • 11. PRVI KORAKI V DOKAZOVANJE-SKLADNOST
  • 12. Bistra glava: skladnost
  • 13. Trisekcija kota s prepogibanjem lista
  • 14. Trisekcija kota
  • 15. Najkrajša pot - Heronov problem
  • 16. Razpolovnica pravega kota in kvadrat nad hipotenuzo
  • 17. Heronov obrazec za ploščino trikotnika
  • 18. Ploščine
  • 19. Ploščina trikotnika v odvisnosti polmera včrtane krožnice
  • 20. Pričrtane krožnice
  • 21. Heronov obrazec s pričtrano krožnico
  • 22. Pravilni mnogokotnik
  • 23. Skoraj pravilni mnogokotniki
  • 24. 8-kotnik v kvadratu
  • 25. Ploščina pravilnega 12-kotnika
  • 26. Talesov izrek o sorazmerjih
  • 27. TEŽIŠČE
  • 28. Talesov izrek
  • 29. Izreki o podobnosti trikotnikov
  • 30. Delitev daljice v razmerju zlatega reza
  • 31. Evklidova izreka
  • 32. Od Evklida do Pitagore
  • 33. "Pitagorov izrek" v ne pravokotnih trikotnikih
  • 34. Pitagorov izrek in pravilni n-kotniki
  • 35. Kvadrat =Krog
  • 36. LEGE DVEH KROŽNIC V RAVNINI
  • 37. Tetive-srdiščne razdalje
  • 38. Srdiščne razdalje-tetive
  • 39. Neskladni tetivi-središčni razdalji
  • 40. Koti v krogu
  • 41. Koti v tetivnem štirikotniku
  • 42. Še vedno v pravokotnem trikotniku

1.1.

ZAKAJ DOKAZOVATI?

KER ZNATI ni isto kot VEDETI ZAKAJ! (Aristotel???)[br]Kdaj govoriš o dokazovanju? [br]Vsakokrat ko hočeš prepričati sebe ali druge o resničnosti neke izjave.[br]In tako je tudi v geometriji, z razliko, da tu dokazuješ izreke. [br]Dokazati ti hočem, da je smiselno dokazovati (tudi in predvsem v srednji šoli)![br]Dokazovanje te[br]• nauči razmišljati in utemeljevati [br]• navaja, da podvomiš v tvoje percepcije[br]• nauči gledati na probleme iz različnih zornih kotov[br]• spoprijazni s strategijami[br]• nauči sinteze[br]• nauči urejenosti in jasnosti[br]• navaja k vztrajnosti[br][br]Če odmisliš besedi geometrija in matematika, potem so te trditve bistvene važnosti za mojo, tvojo, ... rast v odgovorno osebo in državljana.[br]In nenazadnje: je odličen trening za sive celice!
Pokažem-dokažem ti, da te lahko tvoje oči varajo, saj določenih ključnih detailov ne moreš opaziti s prostim očesom. Te pa matematiki ne zbežijo!
– Hana

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

1.13.

–

1.14.

–

1.15.

–

1.16.

–

1.17.

–

1.18.

–

1.19.

–

1.20.

–

1.21.

–

1.22.

–

1.23.

–

1.24.

–

1.25.

–

1.26.

–

1.27.

–

1.28.

–

1.29.

–

1.30.

–

1.31.

–

1.32.

–

1.33.

–

1.34.

–

1.35.

–

1.36.

–

1.37.

–

1.38.

–

1.39.

–

1.40.

–

1.41.

–

1.42.

–

2.

Analitična geometrija-premice

  • 1. Koordinatni sistem v ravnini
  • 2. Središče daljice vzporedne koordinatni osi
  • 3. Središče daljice
  • 4. Vezalke in ploščina mnogokotnika
  • 5. Enačba ali linearna funkcija?
  • 6. Vzporednost in pravokotnost
  • 7. Pogoj pravokotnosti devh premic: s Pitagorovim izrekom
  • 8. Ostri kot med premicama
  • 9. Razdalja točka-premica

2.1.

Koordinatni sistem v ravnini

Koordinatni sistem v ravnini sestavljata dve številski premici, ki se sečeta v izhodišču, ki  ga  označimo  s točko O(0,0). [br]Premici nista nujno pravokotni in na obeh premicah označimo  enoti, ki nista nujno enaki. Če sta merski enoti enaki je koordinatni sistem monometričen, drugače je sistem dimetričen.[br]V primeru, da sta premici pravokotni govorimo o pravokotnem koordinatnem sistemu.[br]Spreminjaj kot koordinatnih osi in opazuj kako se spreminjajo koordinati točke P. Od česa sta odvisni?[br]Ti je sedaj  jasno, zakaj v šoli uporabljamo le pravokotne koordinatne sisteme z isto mersko enoto?
– Hana

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

3.

Analitična geometrija- stožnice

DN: V vzpodbudo in izziv razumevanja stožnic....

  • 1. STOŽNICA kot presečna krivulja
  • 2. Copia di Conics|3D Visualisation|Animation|
  • 3. STOŽNICA kot geometrijsko mesto
  • 4. PARABOLA kot geometrijsko mesto
  • 5. Avtomobilski žarometi
  • 6. RADIOTELESKOP
  • 7. Parabolni odsek
  • 8. ELIPSA kot geometrijsko mesto
  • 9. Elipsa v premaknjeni legi
  • 10. Eliptični biljard
  • 11. HIPERBOLA kot geometrijsko mesto
  • 12. STOŽNICA kot krivulja drugega reda
  • 13. Dandelinovi krogli in Apolonijeve stožnice
  • 14. STOŽNICA s prepogibanjem lista
  • 15. Tangenti na stožnico
  • 16. PARABOLA in MNOŽENJE
  • 17. Geometrijsko mesto točk (primer)

3.1.

STOŽNICA kot presečna krivulja

Kaj je STOŽNICA?[br]Sama beseda nas spominja na stožec.[br]Stožnica je krivulja presek med ravnino in dvodelnim stožcem.[br]DVODELNIM STOŽCEM??? KAJ JE TO?[br]Ugotovi sam!
STOŽNICA kot presečna krivulja
Premikaj ravnino in opazuj, katero obliko imajo nastale krivulje (pri tem opazuj tudi kote)![br]Poglej, kaj se zgodi, če ravnina:[br]- seče samo en del dvodelnega stožca;[br]- je pravokotna na os stožca;[br]- gre skozi vrh stožca in je pravokotna na os stožca;[br]- je vzporedna osi stožca;[br]- seče oba dela dvodelnega stožca;[br]- vsebuje os stožca;[br]- je vzporedna tvorilki stožca.
– Hana

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

3.16.

–

3.17.

–

4.

Trigonometrija

  • 1. Koti v enotski krožnici
  • 2. Radian
  • 3. Trigonometrija v enotski krožnici
  • 4. Trigonometrija v pravokotnem trikotniku
  • 5. Prva osnovna zveza v pravokotnem trikotniku
  • 6. sin in cos za kote 30°,45° , 60°
  • 7. MemoTrik
  • 8. Gasilska lestev
  • 9. Drevo
  • 10. Svetilnik
  • 11. Snežni metež
  • 12. Ploščina štirikotnika
  • 13. Štirje trikotniki in ena ploščina
  • 14. GRAFI KOTNIH FUNKCIJ
  • 15. Izpeljani grafi
  • 16. sin(α+β) in cos(α+β)
  • 17. sin(α-β) in cos(α-β)
  • 18. asinx+bcosx
  • 19. Kotne funkcije kota 15°
  • 20. Zlati rez in sin18° ter cos36°
  • 21. Obodni kot in mera tetive
  • 22. Sinusni izrek
  • 23. Kosinusni izrek
  • 24. Kosinusni izrek (s Pitagoro)
  • 25. Mesti ob jezeru
  • 26. Zobniki
  • 27. Bat, batnica in kosinusni izrek
  • 28. Naloga iz trigonometrije
  • 29. Od vasi do vasi
  • 30. Polarne koordinate
  • 31. Krivulje v polarni obliki

4.1.

Koti v enotski krožnici

V pravokotni koordinatni sistem Oxy kote načrtamo tako, da postavimo vrh kota v izhodišče O koordinatnega sistema, fiksni krak je pozitivni poltrak osi x, gibljivi krak pa opiše kot z vrtenjem okoli izhodišča. [br]Če se gibljivi krak vrti v obratni smeri urinih kazalcev, opiše pozitivne kote, če pa se giblje v isti smeri, opiše negativne kote.
Koti v enotski krožnici
-Kaj lahko poveš o meri pozitivno usmerjenega kota in pa o meri negativno usmerjenega kota?[br]-Izračunaj mero kota, ki se zasuka za 30° v smeri urinih kazalcev. Zsukaj sedaj za kot 390°, 750° (vedno v smeri urinih kazalcev). Kaj opaziš?[br]- Zakaj je važno, da poznaš tudi mero kota v radianih?
– Hana

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

4.18.

–

4.19.

–

4.20.

–

4.21.

–

4.22.

–

4.23.

–

4.24.

–

4.25.

–

4.26.

–

4.27.

–

4.28.

–

4.29.

–

4.30.

–

4.31.

–

Information