[br]Wyznaczymy dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x)=\frac{x}{\sqrt{\ln x-1}}[/math].[/center][u]Rozwiązanie[/u]:

Funkcja [math]f[/math] jest określona i różniczkowalna w przedziale [math](e,+\infty)[/math]. Posiada jeden punkt stacjonarny [math]x_1=\sqrt{e^3}[/math] (należy on do dziedziny funkcji [math]f[/math]), może więc mieć co najwyżej jedno ekstremum lokalne.

Ponieważ [math]f'(x)>0[/math] dla [math]x\in\left(\sqrt{e^3},+\infty\right)[/math] oraz [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in\left(e,\sqrt{e^3}\right)[/math], więc funkcja [math]f[/math] ma w punkcie stacjonarnym [math]x_1=\sqrt{e^3}[/math] minimum lokalne o wartości [math]\sqrt{2e^3}[/math]. Ponadto [math]f[/math] jest rosnąca na przedziale [math]\left(\sqrt{e^3},+\infty\right)[/math] i malejąca na przedziale [math]\left(e,\sqrt{e^3}\right)[/math].[br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:

Wyznacz samodzielnie dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [math]f(x)=\frac{x}{\sqrt{\ln x -2}}[/math]. Wykorzystaj pierwszy aplet do sprawdzenia, czy poprawnie wskazane zostały punkty stacjonarne. Zmodyfikuj trzeci aplet w taki sposób, aby stanowił ilustrację do zadania.

Uzasadnij, że funkcja [math]f[/math] określona wzorem [math]f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-\ln x}}[/math] nie posiada ekstremów lokalnych. Wykorzystaj pierwszy i trzeci aplet.[br]