[b][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Eukleid%C3%A9sz_(matematikus)]Alexandriai Eukleidész[/url] [/b] ([url=https://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6r%C3%B6g_%C3%A1b%C3%A9c%C3%A9]görög betűkkel[/url]: Εὐκλείδης; [br] ([b]Euklidész)[/b] [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/I._e._300]i. e. 300[/url] körül született) görög [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Matematikus]matematikus[/url], akit később [i]a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Geometria]geometria[/url] atyja[/i]ként is emlegettek.
Általában [size=150]s[i]zerkesztés[/i][/size]nek nevezzük egy geometriai alakzat előállítását, ahol adottak a geometriai alakzat egyértelmű előállításához szükséges [u]adatok[/u], adott az előállítás egyértelműen meghatározott feltételei, [u]algoritmusa [/u](lépései, és ezek sorrendje), és adottak az algoritmus alkalmazásához szükséges [u]eszközök[/u].[br][br]Ezt a meghatározást elfogadva minden GeoGebrával készített rajz előállítása [u]szerkesztés[/u]nek tekinthető, ahol a szerkesztés eszközei a GeoGebra rajzoló eszközei. Ez természetesen jóval bővebb eszköztár, mint amit az általános- és a középiskolai matematikaórákon szerkesztésnek szokás nevezni. Azt mondjuk, hogy ott [u]euklideszi [/u]szerkesztést végzünk, noha euklideszi szerkesztés feltételei jóval szigorúbbak az iskolai szerkesztési feltételeknél. De akár lehet a szerkesztés eszköze egy bögre - mint sablon -, amit körülrajzolva, elfogadjuk, hogy az így kapott alakzat kör.[br][br][size=150][i]Euklideszi szerkesztés[/i][/size][size=150]nek nevezzük az alábbi feltételeknek eleget tevő síkgeometriai alakzatok előállítását: [br] A szerkesztés[u] eszközei[/u]:[br] - az[i] egyélű egyenes vonalzó[/i], amely alkalmas [u]bármely két pontra[/u] illeszkedő egyenes felvételére (megadására);[br] - a [i]körző[/i], amely alkalmas [u]bármely két pont[/u] körzőnyílásba vételére. [br] [br] A geometriai alakzat előállítása az alábbi hat művelet (szerkesztési lépés)[br] [u]véges számú[/u] alkalmazásával történhet:[br] [b]1.[/b] Két adott [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] pontra illeszkedő egyenes előállítása;[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon][br] [b]2.[/b] Két adott egyenes metszéspontjának az előállítása; [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] [br] [b]3.[/b] Két adott pont szakaszának (távolságának) a körzőnyílásba vétele, átvitele; (kör sugarának megadása);[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_compasses.png[/icon][br] [b]4. [/b]Adott középpontú, adott sugarú kör előállítása.[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon][br] [b]5. [/b]Két adott kör metszéspontjainak az előállítása.[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] [br] [b]6. [/b]Adott kör és adott egyenes metszéspontjainak az előállítása.[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon][br]A már előállított geometriai alakzat, (pont, egyenes vagy kör) a szerkesztés további menetében adottnak tekinthető. [br]Megjegyezzük, hogy az euklideszi szerkesztésnek nincs olyan (elvi) akadálya, hogy a vonalzónk túl rövid két pont egyenesének a felvételéhez. Ugyanígy a körző mindig elegendően nagy. (Épp úgy, mint a GeoGebrában.) Rögzítsük le azt is, hogy az eszközeink [u]tökéletesen működnek[/u] (nem pontatlanok),és a ezeket ugyancsak [u]pontosan használjuk[/u]. Ezzel kizártuk a gyakorlatban előforduló pontatlanságokat. [br]A körző a kör "definíciója alapján" rajzol, a vonalzó viszont olyan sablonnak (is) tekinthető, mint a bögre a kör rajzolásához. Ezért lehet fontos az a matematikai tétel, miszerint minden euklideszi szerkesztés, (amelynek pontok a bemenő adatai és a végeredménye is) elvégezhető csak körzővel is.[br][br]Másik megjegyzendő dolog, hogy ha egy kör és egyenes, vagy két kör éppen érintő helyzetű, akkor az érintési pont kijelölése nem tekinthető euklideszi szerkesztési lépésnek. (Ellentétben a GeoGebrával, amely ilyen esetben is megadja a közös pontot.)[br][/size][br][size=100]Példaként - [url=https://www.geogebra.org/o/JbN7QMyV]kizárólag az euklideszi lépésekre szorítkozva[/url]- oldjuk meg az alábbi két feladatot:[br][/size][size=150][br] Legyen adott az e=(A,B) egyenes, és egy rá nem illeszkedő P pont. [br] Szerkesszük meg - minél kevesebb lépésben - a P -re illeszkedő[br] 1. e-re merőleges;[br] 2. e-vel párhuzamos [br] egyenest.[/size][br][br]Ez a - szigorú értelemben vett - euklideszi szerkesztés alkalmazása eléggé nehézkessé tenné a gyakorlati munkát. Ezért gyakorlatilag[u] euklideszi szerkesztésnek tekinthetünk minden olyan szerkesztést, amely visszavezethető a fenti hat lépés véges sokszori alkalmazására.[/u][br][br]Nem egyszerű - matematikai - kérdés annak az eldöntése, hogy a GeoGebra által alaphelyzetben felkínált parancs ikonok közül melyik tekinthető euklideszi szerkesztésnek, és melyik nem. Az minden esetre komoly segítség, hogy a fentiek értelmében minden euklideszi szerkesztéssel előállított rajz kizárólag körökből egyenesekből, és a megadott bázispontokon túlmenően ezek metszéspontjaiból állhat.[br][br]Nehezebb kérdés annak az igazolása, hogy a megszerkesztett alakzat valóban rendelkezik-e a kívánt tulajdonsággal. Különösen akkor, ha egyéb feltételeket is állítunk magunk elé. Például -mondjuk - nem használhatjuk a sokat emlegetett párhuzamossági axiómát, valamint az ebből következő - például a hasonlóságon alapuló - összefüggéseket. Ezzel a kérdéssel [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe]itt foglalkozunk bővebben.[/url]
Elsőként mutatunk egy-egy lehetőséget a fenti két feladat megoldására.[br] [size=150] [br][list][*] Adott az e=(A,B) egyenes és a rá nem illeszkedő P pont. Euklideszi szerkesztési lépésekkel szerkesszük meg a P-re illeszkedő, e- re merőleges egyenest. Milyen geometriai tételre hivatkozva állítjuk, hogy a szerkesztés helyes?[/*][/list][/size]
Belátható, hogy a fenti feladat - 7 lépésből álló -megoldásának a helyességét igazoló állítás nem igényli az euklideszi párhuzamossági axióma kimondását.[br]
[list][*]Adott az e=(A,B) egyenes és a rá nem illeszkedő P pont. Minél kevesebb euklideszi szerkesztési lépéssel szerkesszük meg a P-re illeszkedő, e- vel párhuzamos egyenest. [br]Milyen geometriai tételre hivatkozva állítjuk, hogy a szerkesztés helyes?[/*][/list][br]A párhuzamossági axióma kimondása elölti eszközökkel is igazolható, hogy:[br][list][*][color=#9900ff] [size=150]ha a sík két egyeneséhez van olyan harmadik, amely mindkettőre merőleges, akkor ez a két egyenes nem metszi egymást. [/size][/color][br][/*][/list]Ez az összefüggés sugallja, hogy az első feladat megoldását folytatva szerkesszük a kapott merőleges egyenesre egy újabb merőlegest:
Ebben a megoldásban 12 elemi szerkesztési lépésre volt szükségünk. Vajon megoldható a feladat ennél kevesebb lépésben?
9 lépéssel sikerült megoldanunk a feladatot. [br][br]De vajon ennek a szerkesztésnek a helyessége igazolható-e az euklideszi párhuzamossági axióma kimondása nélkül?[br] [size=150][size=100]Erre a - meglepően nehéz - kérdésre például [b][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/XyYF4zCv]itt[/url] [/b]kaphatunk választ.[/size][/size]
Amikor - pl. az iskolai gyakorlatban - euklideszi szerkesztésről beszélünk, a legtöbb esetben nem szorítkozunk a fenti hat lépésre. Azt mondjuk, hogy azok az euklideszi szerkesztéssel megoldható feladatok amelyek visszavezethetők a fenti hat lépésre.[br][br]Ennek megfelelően a GeoGebra "használható" parancsainak (ill. ikonjainak) köre is bővíthető:[br][list][*]Pontok:: [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_pointonobject.png[/icon] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_attachdetachpoint.png[/icon][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_midpoint.png[/icon][/*][*]Pontokból származtatott egyenes vonalak: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_ray.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_vector.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_vectorfrompoint.png[/icon][/*][*]Vonalakból származtatott egyenesek: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallel.png[/icon] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_linebisector.png[/icon] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_angularbisector.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polardiameter.png[/icon][/*][*]Körök, körívek: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_compasses.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_semicircle.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlearc3.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circlesector3.png[/icon] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circumcirclearc3.png[/icon] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circumcirclesector3.png[/icon][/*][*]Sokszög:[icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][/*][*]Transzformációk: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratpoint.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_vectorfrompoint.png[/icon][/*][/list]Fontos inkább arra figyelnünk, hogy [u]mit nem engedhetünk meg,[/u] ha valóban euklideszi szerkesztéssel kapott ábra előállítása a célunk.[br] Pl. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_locus.png[/icon] mértani helyként előállhat olyan ponthalmaz, amely nem szerkesztető. Nem szerkeszthetők általában a kúpszeletek. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_ellipse3.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_parabola.png[/icon] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon] Ki kell hagynunk olyan műveleteket, amelyek megadásához numerikus adatok is kellenek. Ilyen például a centrális nyújtás [icon]/images/ggb/toolbar/mode_dilatefrompoint.png[/icon], adott sugarú kör szerkesztése[icon]/images/ggb/toolbar/mode_spherepointradius.png[/icon] , vagy általában szabályos n-szög szerkesztése [icon]/images/ggb/toolbar/mode_regularpolygon.png[/icon].[br][br] A szerkeszthetőség kérdése több mint kétezer éves problémaköre a matematikának. Erre most nem térünk ki. Helyette oldjunk meg ezzel a szűkített eszközkészlettel egy - talán jól ismert - feladatot.
Feladat:[br]Legyen adott a sík A ás B pontja. Szerkesszük meg az AB átmérőjű körbe írható szabályos ötszög és szabályos tízszög oldalát! [br][br]Egy szerkesztési feladat teljes megoldásának jórészt a probléma elemzéséből, összefüggések kereséséből, majd a szerkesztés lépéseinek a rögzítéséből, magából a szerkesztésből, végül a szerkesztés helyességének az igazolásából kell állnia. Mi most ebből a folyamatból - eléggé el nem ítélhető módon - csak a szerkesztést ragadjuk ki. [br][br]Akit kicsit alaposabban érdekelnek e művelet előzményei és következményei, nyúljon vissza a mára megszépült múltba, pl. [b] [url=http://www.jgypk.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/arany/]ide[/url].[/b]
A fenti szerkesztést meglapozó két tételt Euklídész így írta le az Elemek XIII. könyvében[br]EUKLIDÉSZ, Elemek, Gondolat Kiadó, Budapest, 1983, ISBN 963 281 267 0 484.-486. old.): [br][br][b]9. tétel:[/b] [br]"[i]Ha az ugyanabba a körbe írt hatszög és tízszög oldalát összeadjuk, akkor a teljes szakasz folytonos arányban osztott, és a nagyobb darabja a hatszög oldala. [/i] "[br][size=85]( A folytonos arány itt az aranymetszés arányát jeleni: [math]\frac{AO}{OE}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/math] )[br][/size][br][b]10. tétel:[/b][br][i]"Ha egy körbe egyenlő oldalú ötszöget írunk, akkor az ötszög oldala négyzetértékben egyenlő az ugyanabba a körbe írt hatszög és tízszög oldalának összegével. " [br][/i]
Amint láttuk, a szabályos ötszög megszerkeszthető az euklideszi szerkesztés eszköztárával. De vajon a szabályos hétszög is megszerkeszthető?[br][br]Általában milyen nehéz lehet eldönteni, hogy egy geometriai alakzat euklideszi szerkesztéssel előállítható-e, vagy sem?[br][br]A válasz nem túl bízható, bár egyszerű: [b]nehéz! [br][/b]Így ezzel most nem foglalkozunk. [br]De [url=https://www.geogebra.org/m/pz8jtqkh]itt[/url] és [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/bptvsghh]itt[/url] viszont igen.