Festigung des Integralbegriffs durch Ober- und Untersummen

Aufgabe 1: Ober- und Untersummen zur Integralberechnung bilden

Im Folgenden soll der Flächeninhalt zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse in einem Intervall [math][a,b][/math] durch Ober- und Untersummen näherungsweise ermittelt werden.

a) Berechne die Ober- und Untersumme der monoton steigenden Funktion [math]f(x)[/math] im Intervall [math][-1,2][/math] mit der Zerlegung in [math]n=6[/math] gleichgroße Teilintervalle. Notiere deine Rechnung auf einem Extrablatt.[br]Stelle dafür die Parameter entsprechend ein und nutze den Rechner für Funktionswerte.

b) Welche der folgenden Formeln stellen eine Verallgemeinerung für die Obersumme [math]O_n[/math]in einem Intervall [math][a,b][/math] einer monoton steigenden Funktion [math]f[/math] mit [math]n[/math] Zerlegungen dar? [math]\Delta x=\frac{b-a}{n}[/math] [br]Wähle alle zutreffenden Aussagen.

[math]O_n=\Delta x\cdot f\left(x_1\right)+\Delta x\cdot f\left(x_2\right)+...+\Delta x\cdot f\left(x_n\right)[/math] [math]O_n=\Delta x\cdot\left(f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_n\right)\right)[/math] [math]O_n=\Delta x\cdot\left(f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_{n-1}\right)\right)[/math] [math]O_n=\Delta x\cdot f\left(x_0\right)+\Delta x\cdot f\left(x_1\right)+\Delta x\cdot f\left(x_2\right)+...+\Delta x\cdot f\left(x_{n-1}\right)[/math] [math]O_n=\Delta x\cdot\left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_n\right)\right)[/math] [math]O_n=\Delta x\cdot f\left(x_0\right)+\Delta x\cdot f\left(x_1\right)+\Delta x\cdot f\left(x_2\right)+...+\Delta x\cdot f\left(x_n\right)[/math]

c) Welche der folgenden Formeln stellen eine Verallgemeinerung für die Untersumme [math]U_n[/math] in einem Intervall [math][a,b][/math] einer monoton steigenden Funktion [math]f[/math] mit [math]n[/math] Zerlegungen dar? [math]\Delta x=\frac{b-a}{n}[/math][br]Wähle alle zutreffenden Aussagen.

[math]U_n=\Delta x\cdot\left(f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_{n-1}\right)\right)[/math] [math]U_n=\Delta x\cdot f\left(x_0\right)+\Delta x\cdot f\left(x_1\right)+\Delta x\cdot f\left(x_2\right)+...+\Delta x\cdot f\left(x_{n-1}\right)[/math] [math]U_n=\Delta x\cdot\left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_n\right)\right)[/math] [math]U_n=\Delta x\cdot\left(f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_n\right)\right)[/math] [math]U_n=\Delta x\cdot f\left(x_1\right)+\Delta x\cdot f\left(x_2\right)+...+\Delta x\cdot f\left(x_{n-1}\right)[/math] [math]U_n=\Delta x\cdot f\left(x_0\right)+\Delta x\cdot f\left(x_1\right)+\Delta x\cdot f\left(x_2\right)+...+\Delta x\cdot f\left(x_n\right)[/math]

d) Diese Aufgabe dient dem Verständnis der obigen Formeln: Stelle die Formeln für die Berechnung der Ober- und Untersumme aus Teilaufgabe a) (Intervall [math][-1,2],n=6[/math]) auf und vergleiche diese mit deinen eigenen Rechnungen. Diskutiere mit deinem/deiner Nebensitzer/Nebensitzerin die Unterschiede und Gemeinsamkeiten. (Gib "asdf" in das Lösungsfeld ein, um die richtige Lösung anzeigen zu können.)

Das folgende Applet zeigt die Zerlegung in [math]n[/math] Abschnitte für eine beliebige Funktion [math]f[/math] und ein beliebiges Integral [math][a,b][/math].

e) Ermittle über den Regler, für welches [math]n[/math] sich Ober- und Untersumme im Intervall [math][2,5][/math] um weniger als 0,1 unterscheiden.

f) Beschreibe, wie sich Ober- und Untersumme zueinander verhalten, wenn die Anzahl der Zerlegungen [math]n[/math] erhöht wird.

Aufgabe 2

Fülle folgenden Lückentext aus.

Lösung der Textaufgabe durch Eingabe von "asdf" anzeigen.

[b]Zusatz:[/b][br]Im folgenden Applet ist die monoton fallende Funktion [math]g(x)[/math] dargestellt. [br]Überprüfe, ob die Formeln für Ober- und Untersumme aus Aufgabe 1b und c auch in diesem Fall zutreffen und passe sie gegebenenfalls für monoton fallende Funktionen an.

Festigung des Integralbegriffs durch Ober- und Untersummen

Aufgabe 1: Ober- und Untersummen zur Integralberechnung bilden

Aufgabe 2

Lösung der Textaufgabe durch Eingabe von "asdf" anzeigen.

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