(1777-1855)
Calculo del Área bajo la curva por sumas de Riemann
La actividad consiste en analizar el método de sumas de Riemann para calcular áreas bajo la curva de funciones no lineales.
Table of Contents
- Inicio
- Introducción
- Sumatorias o Notación Sigma
- Propiedades de la Notación Sigma
- Ejercicios propuestos
- Desarrollo
- Área bajo la curva: desarrollo actividad 1
- Cierre
- Área bajo la curva: "Cierre"
- Anexos
- Planificación del inicio
- versión 2 DESARROLLO: Área bajo la curva
- Cierre: Área bajo la curva.
Introducción
Carl Friedrich Gauss
Anécdota de la vida de Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss fue famoso matemático, astrónomo y físico alemán que vivió entre los siglos XVIII y XIX. Es considerado el “príncipe de las matemáticas”. Fue un niño prodigio y entre las anécdotas que se cuentan sobre él está la siguiente:Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad… pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5050.[br][br]¡La solucción era correcta![br][br]¿Cómo lo hizo?. Pues se dio cuenta de que la suma del primer número con el último (1+100) era igual que la del segundo número y el penúltimo (2+99), y así sucesivamente. Por lo que, como había cien números, se formaban 50 parejas con[br]la misma suma, es decir 101. Por lo que sólo debe de multiplicar 101 x 50 = 5050.
Área bajo la curva: desarrollo actividad 1
Área bajo la curva: desarrollo actividad 1
[b]Áreas de triángulos[/b][br]Para entender cómo se calcula el área de un triángulo cualquiera, se obtiene:[br][math]A=\frac{b\cdot h}{2}[/math][br][br][img]http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/images/triangle-b-h.gif[/img][br][b]Áreas de polígonos regulares[/b][br]Para calcular el área de un polígono regular cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro[br]con cada uno de los vértices. La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del[br]polígono. Se calcula el área de uno de estos triángulos y se multiplica por el número de triángulos[br]que se han formado.[br][br][b]Áreas de polígonos irregulares[/b][br]Para calcular el área de un polígono irregular cualquiera debemos basarnos en métodos indirectos.[br]Estos métodos, básicamente, son tres: el llamado método de triangulación, el uso de una trama[br]cuadriculada o, en algunos casos, descomponer el polígono en cuadriláteros conocidos.[br][br][img]http://1.bp.blogspot.com/-1yuBqEHmAOA/Ux96FHQhv0I/AAAAAAAAAMM/ZErP6WlxdkE/s1600/areas-de-poligonos.gif[/img]
Resuelve el siguiente ejercicio usando la información anterior.
Una empresa fabrica sombrillas para la playa. Para ello usa tela cortada en forma de polígono regular. Calcula la cantidad de tela que necesitará para fabricar 36 sombrillas de 10 lados si sabemos que el lado mide 173 cm y su apotema mide 266,21 cm.
Área bajo la curva: desarrollo, actividad 2
[b]Introducción[br][/b][br][justify]El cálculo de áreas es una de las aplicaciones básicas de las matemáticas. Todas las grandes civilizaciones antiguas desarrollaron métodos sencillos para calcular el área encerrada por líneas poligonales, pero el problema se encontró al tratar de medir el área encerrada por líneas curvas. Este problema no se resolvió hasta finales del siglo XVII con el descubrimiento del cálculo integral.[br]En la primera parte de este tema definiremos el concepto de área bajo una curva, aproximando el área por medio de rectángulos, seguido de un proceso de paso al límite. A continuación, veremos cómo el teorema fundamental del cálculo nos permite calcular el área bajo la curva mediante el cálculo de primitivas. Esto nos llevará a la segunda parte del tema, donde estudiaremos los métodos básicos de integración. En la tercera parte aplicaremos el cálculo integral a la resolución de los problemas básicos: cálculo de áreas, volúmenes, superficies y longitudes de curvas. [/justify][br][img]http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/area/areaHTML/area.h14.jpg[/img]
Resuelve el siguiente ejercicio con los conocimientos adquiridos hasta el momento.
Intentará obtener el área formada por la función f(x)=x^2, el eje “x” y el intervalo [-2,2] utilizando algún método conocido o utilizado en sus materias de matemáticas previas al calculo.[br][br]Comentará los resultados obtenidos, si logró o no calcular el área del ejercicio.
Área bajo la curva: desarrollo actividad 3
Cómo ya se ha de suponer las sumas de Riemann sirven para el cálculo aproximado de áreas que no[br]pueden ser calculadas a través de las fórmulas ya establecidas de geometría. Las sumas de Riemann[br]se definen como [math]\sum_{i=1^{ }}^nf\left(xi\right)\Delta x[/math][br]en donde la función[math]f[/math] representa la función que genera una curva. El área bajo la curva se calcula con[br]las sumas de Riemann. [math]\Delta x[/math]representa el tamaño de las particiones. [math]xi[/math]representa un punto en cada[br]partición.
video explicativo del Área bajo la curva.
Tarea 3
Utilizando el método de Riemann mostrado por el profesor, resolver nuevamente el ejercicio y algunos casos más.
El docente Muestra el método de Riemann para el cálculo de áreas bajo la curva.
video de actividad 3
Tratará de Resolver el ejercicio anterior y otros más que involucren áreas bajo la curva de diferentes funciones. Utilizando el método de Riemann, verificando sus resultados con una aplicación en geogebra.
información de la suma de Riemann
Área bajo la curva: "Cierre"
I.- Qué los estudiantes demuestren lo aprendido del tema: Área bajo la curva.
1.- Qué los estudiantes en equipos de 5 elementos calculen el área bajo la curva, por medio de las sumas de: Riemann cuando (n) tiende a infinito, de las siguientes funciones en el cuaderno.[br]a).- f(x) =x[sup]2[/sup] , en el intervalo (-4,4).[br]b).- f(x) = (x+2), en el intervalo (1,5).[br]c).- f(x) = (5-x), en el intervalo (-1,4).[br]d).- f(x) = 2, en el intervalo (0,2).[br]e).- f(x) = 4, en el intervalo (2,4 ).[br][br]
II.- Qué los estudiantes usen el Aplet de geogebra , para verificar los resultados de las funciones que se muestran en el siguiente problemario.
1.- Calcula el área bajo la curva de la siguiente función f(x)=x[sup]2[/sup] , en el intervalo de [-4,4].
2.- Calcula el área bajo la curva de la siguiente función f(x)=(x +2) , en el intervalo de [1,5].
3.- Calcula el área bajo la curva de la siguiente función f(x)=(5-x) , en el intervalo de [-1,4].
4.- Calcula el área bajo la curva de la siguiente función f(x)=2 , en el intervalo de [0,2].
5.- Calcula el área bajo la curva de la siguiente función f(x)= 4 , en el intervalo de [2,4].
Planificación del inicio
Calculo integral
Micael Garcia Ramirez, Jose Carmen Gonzalez Muñiz y Benjamin Galicia Ramirez[br]
Contenido curricular
Calcular e interpretar el área bajo la curva
Objetivo
Introducción a la sumatoria, operaciones y teoremas
Actividades de enseñanza sesión 1
Inicio: Relatar la historia de Carl Friendrich Gauss[br]Explicar el concepto de sumatoria y su importancia.[br]Explicar ejemplos diversos de sumatorias[br][br]Materiales: Pizarron, marcadores.[br]
Actividades de aprendizaje sesión 1
Registrar la representación de la sumatoria y sus partes[br]Resolver ejemplos de sumatorias en pares.[br]Resolver ejemplos extra clase[br][br][br]Materiales: Cuaderno de cuadro, calculadora, lapiz y goma.[br][br][br]
Proceso hipotético de aprendizaje de la Sesión 1
Redactar el Proceso hipotético de aprendizaje de la sesión 1[br][table][tr][br][td][br][/td] [td][color=#274E13][b]Actividad[/b][/color][/td] [td][color=#073763][b]Reacción de los estudiantes[/b][/color][/td][/tr][br][tr][td][b]1[/b][/td] [td][color=#274E13]Registra la representación de la sumatoria y sus partes[/color][/td] [td][color=#073763]Tomará apuntes y resolverá ejercicios[/color][/td][/tr][br][br][tr][td][b]2[/b][/td][td][color=#274E13]Resuelve ejercicios de sumatorias en parejas[br][/color][/td][td][color=#073763]Será indiferente, no registrará apuntes ni resolverá ejercicios.[/color][/td][/tr][tr][td][b]3[/b][/td][td][color=#274E13]Resolverá ejercicios de sumatorias extra clase[table][tr][/tr][/table][/color][/td][td][color=#073763][/color][/td][/tr][tr][td][b][/b][/td][td][color=#274E13][br][/color][/td][td][color=#073763]No resolverá ejercicios de sumatorias extra clase[table][tr][/tr][/table][/color][/td][/tr][/table][br][br][color=#0000ff][b]Nota[/b][/color]: redactar las Actividades en [i]presente[/i] y la Reacción de l@s estudiantes en [i]futuro[/i].
Actividades de enseñanza sesión 2
Reatroalimentar los resultados obtenidos por los estudiantes en el trabajo extra clase[br][br]Explicar los teoremas de la notación sigma que serán útiles para resolver los ejercicios[br]de sumas de Riemann[br][br]Explicar ejercicios que muestren el uso de los teoremas de la notación sigma.[br][br]Cierre: Comentar la importancia que tiene la sumatoria para en calculo de áreas de figuras irregulares.[br][br]Materiales: Pizarron, marcadores.[br]
Actividades de aprendizaje sesión 2
Verificar que sus ejercicios de tarea estén correctos[br][br]Resolver ejemplos donde se ejemplifique el uso de los teoremas de la notación sigma[br][br]Reflexionar a cerca de la importancia que tiene la sumatoria para en calculo de áreas de figuras irregulares.[br][br][br]Materiales: Cuaderno de cuadro, calculadora, lapiz y goma.[br][br][br]
Proceso hipotético de aprendizaje de la Sesión 2
Redactar el Proceso hipotético de aprendizaje de la sesión 2[br][table][tr][br][td][br][/td] [td][color=#274E13][b]Actividad[/b][/color][/td] [td][color=#073763][b]Reacción de los estudiantes[/b][/color][/td][/tr][br][tr][td][b]1[/b][/td] [td][color=#274E13]Registra la representación de la sumatoria y sus partes[/color][/td] [td][color=#073763]Tomará apuntes y resolverá ejercicios[/color][/td][/tr][br][br][tr][td][b]2[/b][/td][td][color=#274E13]Resuelve ejercicios de sumatorias en parejas[br][/color][/td][td][color=#073763]Será indiferente, no registrará apuntes ni resolverá ejercicios.[/color][/td][/tr][tr][td][b]3[/b][/td][td][color=#274E13]Resolverá ejercicios de sumatorias extra clase[table][tr][/tr][/table][/color][/td][td][color=#073763][/color][/td][/tr][tr][td][b][/b][/td][td][color=#274E13][br][/color][/td][td][color=#073763]No resolverá ejercicios de sumatorias extra clase[table][tr][/tr][/table][/color][/td][/tr][/table][br][br][color=#0000ff][b]Nota[/b][/color]: redactar las Actividades en [i]presente[/i] y la Reacción de l@s estudiantes en [i]futuro[/i].