[justify] Diferentemente do conjunto dos números racionais, no conjunto dos números irracionais as operações de adição e multiplicação não são fechadas, isto é, a soma ou produto de dois números irracionais pode não ser um número irracional. Essa propriedade evidencia a complexidade e a riqueza do conjunto dos números irracionais na Matemática.[br][br][b] A adição não é fechada em I:[/b] a soma de dois números irracionais pode ser um número racional, como mostra o exemplo abaixo.[br]Na soma √5 + (−√5) = 0, √5 e −√5 são irracionais, enquanto 0 é racional.[br][br][b] A multiplicação não é fechada em I:[/b] o produto de dois números irracionais não é sempre um número irracional, como ilustram os exemplos a seguir.[br]No produto √2 · √8 = √16 = 4, √2 e √8 são irracionais. Contudo, 4 é racional.[br]No produto √3 · [math]\frac{1}{\text{√3}}[/math] = 1, √3 é irracional, enquanto 1 é racional.[br][br][b] Densidade:[/b] o conjunto dos números irracionais I é denso, ou seja, entre dois números irracionais há outro número irracional (Broetto, 2016, p. 64).[br][br] Diante de tal complexidade, surgem vários desafios voltados ao ensino dos números irracionais, pois é necessário desenvolver estratégias pedagógicas que facilitem a compreensão de conceitos abstratos e muitas vezes contraintuitivos, como a ideia de que nem todos os números podem ser representados por frações ou decimais periódicos. Além disso, é importante criar atividades que ajudem os estudantes a entenderem as propriedades desses números, suas aplicações e as diferenças em relação aos números racionais. Outro desafio é trabalhar a percepção de que operações envolvendo irracionais podem resultar em números racionais ou irracionais, o que exige uma abordagem cuidadosa e contextualizada. Assim, o ensino dos números irracionais demanda uma abordagem que combine teoria, exemplos concretos e atividades práticas, de modo a promover uma compreensão mais sólida e significativa desse tema fundamental na Matemática.[br][br] A BNCC estabelece que o ensino de números irracionais faz parte do desenvolvimento das competências matemáticas dos estudantes, especialmente na compreensão de conceitos relacionados à quantidade, às operações e às propriedades dos números. A BNCC incentiva que os alunos explorem esses números de forma contextualizada, utilizando recursos visuais, manipulação e resolução de problemas, para que possam compreender suas características e aplicações na vida cotidiana e na ciência, promovendo uma aprendizagem significativa e contextualizada.[br][br] Para que aprofundem a noção de número, é importante colocá-los (alunos) diante de problemas, sobretudo os geométricos, nos quais os números racionais não são suficientes para resolvê-los, de modo que eles reconheçam a necessidade de outros números: os irracionais (Brasil, 2018, p. 269).[br][br] Em consonância com a BNCC, propomos a utilização de um recurso geométrico desafiador, o puzzle Trinity Quartet, como uma ferramenta pedagógica voltada para o trabalho com os números irracionais e o teorema de Pitágoras (Silva et al., 2023). Esse recurso tem como objetivo tornar o conceito de números irracionais, especialmente a raiz quadrada de três, menos abstrato. Ao utilizar o quebra-cabeça, os estudantes podem visualizar e manipular elementos geométricos que representam essa raiz quadrada. Desta forma, promove-se uma aprendizagem mais concreta e interativa, estimulando o raciocínio espacial e a percepção de relações matemáticas, além de contribuir para a construção de um entendimento mais sólido sobre os números irracionais.[/justify]