Construa um paralelogramo [math]ABCD[/math] de lados [math]AB[/math], [math]BC[/math], [math]CD[/math] e [math]AD[/math]. Em seguida, sobre cada um de seus lados, construa para fora do paralelogramo os triângulos equiláteros [math]ABP[/math], [math]BCD[/math], [math]CDR[/math] e [math]DAS[/math]. Marque os baricentros [math]E[/math], [math]F[/math], [math]G[/math] e [math]H[/math] dos triângulos [math]ABP[/math], [math]BCD[/math], [math]CDR[/math] e [math]DAS[/math], respectivamente. Por fim, construa o quadrilátero [math]EFGH[/math].

[b]Demonstração:[/b] Vamos mostrar que o quadrilátero [math]EFGH[/math] tem os lados opostos iguais. Afinal todo quadrilátero plano com dois pares de lados opostos iguais é um paralelogramo. Para mostrar que [math]EF=GH[/math], considere os triângulos [math]EFB[/math] e [math]GHD[/math].

[math]\text{ EBF}[/math]Vamos mostrar que os triângulos [math]EFB[/math] e [math]GHD[/math] são congruentes por lado-ângulo-lado (LAL). Porque se esses dois triângulos são congruentes, então [math]EF=GD[/math].[br][br][b]Justificativa da congruência de [/b][math]EFB[/math][b] e [/b][math]GHD[/math][b]: [/b][br]Igualdade dos lados opostos. Como os lados opostos de qualquer paralelogramo são iguais e [math]ABCD[/math] é um paralelogramo, temos [math]AB=CD[/math] e [math]AD=BC[/math]. [br][br]Assim, os triângulos equiláteros [math]ABP[/math] e [math]CDR[/math] são congruentes, do mesmo modo [math]ADS[/math] e [math]BCQ[/math] são congruentes. [br][br]As medianas de triângulos equiláteros congruentes têm todas o mesmo comprimento. [br][br]Como se sabe, o baricentro de qualquer triângulo divide as medianas na razão de 2 para 1, a partir do vértice de onde ela é tomada. [br][br]Assim, [math]BF=DH[/math] e [math]BE=DG[/math].[br][br]Igualdade dos ângulos opostos [math]EBF[/math] e [math]GDH[/math]. Lembre-se que em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Como [math]\text{ABCD}[/math] é um paralelogramo, os ângulos internos em [math]B[/math] e em [math]D[/math] são iguais (estão representados por [math]\alpha[/math] na figura a seguir).

Repare que o ângulo [math]\text{$\angle$EBF}=360º-\left(30º+\alpha+30º\right)[/math]. Do mesmo modo [math]\text{$\angle$GDH}=360º-\left(30º+\alpha+30º\right)[/math], portanto, [math]\angle\text{EBF}=\angle GDH[/math].[br][br]Então os triângulos [math]EFB[/math]e[math]GHD[/math]são congruentes por LAL, logo [math]EF=GH[/math]. [br][br]A demonstração de que [math]EH=FG[/math] é análoga e será deixada como exercício.[math]\square[/math]