Funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche e i loro grafici. Equazioni e disequazioni goniometriche elementari.
Table des matières
- Definizione delle funzioni goniometriche fondamentali
- Definizione di seno e coseno di un angolo
- Relazione fondamentale
- Test sulla definizione di seno e coseno
- Definizione di tangente
- Funzioni goniometriche di angoli particolari
- Triangoli rettangoli particolari
- Seno e coseno degli angoli di 30°, 45° e 60°
- Esercitazione su seno e coseno di angoli espressi in gradi
- Esercitazione su seno e coseno di angoli espressi in radianti
- Tangente degli angoli di 30°, 45° e 60°
- Funzioni goniometriche reciproche
- Secante e cosecante
- Cotangente
- Ricapitolando:
- Angoli associati
- Angoli opposti
- Angoli complementari
- Angoli che differiscono di un angolo retto
- Angoli supplementari
- Angoli che differiscono di un angolo piatto
- Angoli la cui somma è 270°
- Angoli che differiscono di 270°
- Test
- Grafico delle funzioni goniometriche
- Funzione seno
- Funzione coseno
- Funzione tangente
- Funzione secante
- Funzione cosecante
- Funzione cotangente
- Funzioni goniometriche inverse
- Proprietà della funzione seno
- La funzione arcoseno
- Grafico della funzione arcoseno
- Proprietà della funzione coseno
- La funzione arcocoseno
- Grafico della funzione arcocoseno
- Proprietà della funzione tangente
- La funzione arcotangente
- Grafico della funzione arcotangente
Definizione di seno e coseno di un angolo
[size=150]La [color=#0000ff][b]goniometria[/b][/color] studia particolari funzioni che associano alla misura di un angolo un numero reale.[br][center]Queste funzioni si dicono [color=#0000ff][b]funzioni goniometriche[/b][/color].[/center]Le funzioni goniometriche fondamentali sono le funzioni [color=#0000ff][b]seno[/b][/color] e [color=#0000ff][b]coseno[/b][/color] dell'angolo α.[br][br]Fissato un angolo orientato α sulla circonferenza goniometrica, e indicato con P il punto di intersezione del secondo lato dell'angolo con la circonferenza goniometrica, definiremo:[br][br]- [b][color=#0000ff]coseno[/color] [/b]dell'angolo α[b] [color=#0000ff]l'ascissa[/color][/b] del punto P[br][br]-[b] [color=#0000ff]seno[/color] [/b]dell'angolo α[b] [color=#0000ff]l'ordinata[/color] [/b]del punto P[br][br][i][color=#cc0000]Fai variare α e osserva la variazione del valore del seno e del coseno dell'angolo α.[/color][/i][/size]
[size=150][color=#ff0000][b]Osserva:[br][br][/b][/color][/size][size=150]qual è il valore minimo assunto da sen[math]\alpha[/math]?[/size][br]
[size=150]e il valore massimo?[/size]
E per cos[math]\alpha[/math], quali sono i valori minimo e massimo?
[size=150][color=#cc0000]Aiutandoti con la rappresentazione degli angoli sulla circonferenza goniometrica, indica i valori delle funzioni gonimetriche dei seguenti angoli:[/color][/size][br][br]cos 0°
cos [math]\frac{\pi}{2}[/math]
cos [math]\pi[/math]
sen [math]\frac{3}{2}\pi[/math]
sen [math]\pi[/math]
sen -[math]\frac{\pi}{2}[/math]
Triangoli rettangoli particolari
[color=#0000ff][size=200][left] Triangolo rettangolo isoscele[/left][/size][/color]
[size=200][color=#0000ff] Triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60°[/color][/size]
Secante e cosecante
[size=150]Fissato un angolo orientato α sulla circonferenza goniometrica, si definisce [br][br][b]- [color=#ff0000]secante[/color][/b] di α il reciproco di cos α:[br][/size] [color=#ff0000]sec α[/color] = [math]\frac{1}{cos\alpha}[/math][br][b]-[/b] [color=#0000ff][b]cosecante[/b][/color] di α il reciproco di sen α:[br] [color=#0000ff]cosc [/color][color=#0000ff]α [/color]= [math]\frac{1}{sen\alpha}[/math][br][br][size=150][u][i]Geometricamente[br][/i][/u][br]Osserviamo che i triangoli OPH e OPB sono simili, quindi:[br]OH : OP = OP : OB[br]cos α : 1 = 1 : OB[br]da cui: OB = [math]\frac{1}{cos\alpha}[/math][math]\longrightarrow[/math][color=#ff0000]OB = sec α[/color][math]\longrightarrow[/math]la [b][color=#ff0000]secante[/color][/b] [color=#ff0000]di α è l'ascissa del punto B[/color].[br][br][/size][size=150]Analogamente, essendo simili i triangoli OPH e OCP:[br]PH : OP = OP : OC[br]sen α : 1 = 1 : OC[br]da cui: OC = [math]\frac{1}{sen\alpha}[/math][math]\longrightarrow[/math][b][color=#0000ff]OC = cosc α[math]\longrightarrow[/math][/color][/b][/size]la [color=#0000ff][b]cosecante[/b][/color] [color=#0000ff]di α è l'ordinata del punto C[/color].
Fai variare lo slider e osserva:[br][br]la funzione secante esiste per tutti i valori dell'angolo α?
la funzione cosecante esiste per tutti i valori dell'angolo α?
[size=150][color=#ff0000]Aiutandoti con la rappresentazione degli angoli sulla circonferenza goniometrica, indica i valori delle funzioni gonimetriche dei seguenti angoli:[br][br][/color][/size]sec 0°
cosc 90°
sec 135°
cosc 270°
sec 30°
sec 60°
Angoli opposti
[size=150]Assegnato un angolo α, [size=150] si dice [color=#cc0000]angolo associato[/color] ad α[/size][size=150], un qualunque angolo i cui valori del seno, coseno e tangente sono deducibili da quelli dell'angolo α .[br][br]Osserva le relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math] e completa: [/size][/size]
sen([math]-\alpha[/math]) =
cos([math]-\alpha[/math]) =
tg([math]-\alpha[/math]) =
Funzione seno
[size=150]La [color=#0000ff]funzione seno[/color] è una funzione che ha come [color=#0000ff]dominio R[/color] e come [color=#0000ff]codominio [-1,1][/color] [br]e [color=#0000ff]associa ad ogni angolo [math]\alpha[/math] il valore di sen [/color][math]\alpha[/math][color=#0000ff]:[/color][br][center]R -> [-1, 1][b][/b][br][math]\alpha[/math]->sen [math]\alpha[/math][/center]Il suo grafico è l'insieme dei punti del piano di coordinate ([math]\alpha[/math], sen [math]\alpha[/math]). [br]Perché la misura dell'angolo possa essere rappresentata sull'asse delle ascisse, deve essere una lunghezza e quindi è necessario che l'angolo sia rappresentato in radianti.[br][br][/size][i]Fai variare P e osserva:[/i]
Cosa succede se l'angolo [math]\alpha[/math] è maggiore di [math]2\pi[/math] o minore di 0?
Proprietà della funzione seno
[color=#cc0000]Osserva il grafico della funzione seno e rispondi:[/color]
La funzione y = sen x è suriettiva?
La funzione y = sen x è iniettiva?
La funzione y = sen x è biiettiva e quindi invertibile?
Possiamo restringere il dominio in modo da farla diventare invertibile?