[b][color=#0000ff][size=150][table][tr][td][b][color=#0000ff][size=150]x[sub]1[/sub] = -3[br]x[sub]2[/sub] = 1[br]x[sub]n[/sub] = 2x[sub]n-1 [/sub]- x[sub]n-2[/sub] , (n = 3, 4, 5, ...) [code][/code][/size][/color][/b][/td][/tr][/table][/size][/color][/b]
[i][size=150]Berechne die Glieder x[sub]3[/sub] bis x[sub]7[/sub].[/size][/i]
[b]Anleitung:[/b][br]x[sub]3[/sub] = 2x[sub]2[/sub] - x[sub]1[/sub] = 2*1 - (-3) = 5[br]x[sub]4[/sub] = 2x[sub]3[/sub] - x[sub]2[/sub] = ...[br][i]Kontrolliere die Ergebnisse mit Geogebra.[/i]
[i]Um was für eine Art von Folge handelt es sich?[/i]
Um eine [b]arithmetische[/b] Folge.
[i]Gib eine Termdarstellung für x[sub]n[/sub] an.[/i]
[b]x[sub]n[/sub] = -3 + (n-1)*4 = 4n - 7[/b]
Um zu beweisen, dass die Termdarstellung richtig ist, muss man zeigen, dass sie[br]a) die [b]Anfangswerte[/b] (x[sub]1[/sub] und x[sub]2[/sub]) liefert[sub] [/sub]und[br]b) die [b]Rekursionsgleichung[/b] erfüllt.[br][br][i]Führe den Beweis durch.[/i]
[table][tr][td]a) [br][/td][td]n = 1: [/td][td]x[sub]1[/sub] = 4*1 - 7 = -3 [math]\sqrt{ }[/math][/td][/tr][tr][td][/td][td]n = 2: [/td][td]x[sub]2[/sub] = 4*2 - 7 = 1 [math]\sqrt{ }[/math][/td][/tr][/table][br][table][tr][td]b) [/td][td]2x[sub]n-1[/sub] - x[sub]n-2[/sub][/td][td]= 2(4(n - 1) - 7) - (4(n - 2) - 7)[/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][td]= 8n - 22 - (4n - 15) = 4n - 7[/td][td]= x[sub]n[/sub] [math]\sqrt{ }[/math][/td][/tr][/table][br]
[i]Führe die obigen Aufgaben mit folgenden Anfangswerten aus:[br][/i]a) x[sub]1[/sub] = 21; x[sub]2[/sub] = 18,5[br]b) x[sub]1[/sub] = a; x[sub]2[/sub] = b