In der Ebenengeometrie, kann man konstruktiv in ein Quadrat ein regelmäßiges Achteck einbeschreiben[br]Nachfolgend zeigen 3 Applets, welche gestuften Vorgehensweisen dazu in der Schule möglich wären:[br][list][*][color=#0000ff]Elementargeometrisch mit Kreisen[/color][br][/*][/list][color=#333333]Dazu schlägt man mit dem Zirkel vom Eckpunkt der Quadrate Kreisbögen auf die Quadratseiten.[/color][list][*][color=#0000ff]Elementargeometrisch mit Drehstreckung [/color][/*][/list]Dazu konstruiert man den [b][color=#f1c232]Inkreis[/color][/b] in einem [b][color=#cc0000]Quadrat [/color][/b]und seine [b]Diagonalen[/b]. Dadurch erhält man 8 Punkte, die die Eckpunkte eines regelmäßigen Achtecks (Oktogon) bilden, von dem vier [b][color=#0000ff]Ecken[/color][/b] auf den Quadratseiten liegen. [b][color=#38761d]Dreht[/color][/b] man das Achteck um den Winkel von 22,5° liegt das [b][color=#ff0000]Achteck[/color][/b], parallel zu den Quadratseiten. Mit dem Schiebregler a lässt sich das Achteck dann [b]drehen[/b] und [b]zentrisch[/b] vom Quadratmittelpunkt [b]strecken[/b] ([b]Drehstreckung[/b]).[br][list][*][color=#0000ff]Algebraisch[/color][br][/*][/list]Sei [b][color=#900000]a[/color][/b] die Kantenlänge des Quadrates, ist die Seite [b]s[sub][color=#ff0000]8[/color][/sub] = [color=#cc0000]a[/color] - 2x[br][/b][center]Aus dem Satz des Pythagoras folgt: ([b]s[sub][color=#ff0000]8[/color][/sub][/b])[b][sup]2[/sup][/b] [b]= x[sup]2[/sup] + x[sup]2[/sup] = 2x[sup]2[/sup][/b][/center][center]also: [math]\sqrt{2}x[/math] = a - 2x [br][math]\Longrightarrow\sqrt{2}x+2x=a\Longrightarrow x=a\cdot\frac{1}{\sqrt{2}+2}[/math][/center]