În piramida din figura de mai jos au loc relaţiile OA[math]\perp[/math]OB[math]\perp[/math]OC[math]\perp[/math]OA, motiv pentru care se numeşte tetraedru tridreptunghic de vârf O şi bază [math]\Delta[/math] ABC.[br]Materialul ilustrează, prin intermediul unei animaţii, modul de construcţie a înălţimii corespunzătoare bazei.[br]Animaţia poate fi pornită, întreruptă şi resetată cu ajutorul butoanelor din zona inferioară a ferestrei.[br]Butonul cu săgeată verde comandă realizarea secvenţială a construcţiei.
Demonstraţi că [math]\Delta[/math] [b]ABC este ascuţitunghic.[/b]
CO[math]\perp[/math]OA şi CO[math]\bot[/math]OB [math]\Rightarrow[/math] CO[math]\perp[/math](AOB). (1)[br]OD [math]\bot[/math] AB, D[math]\in[/math] AB. (2)[br]Din (1) şi (2) [math]\Rightarrow[/math] CD [math]\perp[/math] AB ([math]T.3\perp[/math]) (3)[br]m([math]\angle[/math]AOB)=90[math]^\circ[/math] şi m([math]\angle[/math]ODA)= 90[math]^\circ[/math] [math]\Rightarrow[/math] D [math]\in[/math] (AB) (4).[br]Din (3) şi (4) [math]\Rightarrow[/math] [CD] este înălţime şi (CD) [math]\subset[/math] Int([math]\Delta[/math]ABC).[br]Analog, se demonstreză că [AE] este înălţime şi (AE) [math]\subset[/math] Int([math]\Delta[/math]ABC).[br]Cum (CD) [math]\cap[/math] (AE) = {H} [math]\Rightarrow[/math] [b]ortocentrul [/b][math]\Delta[/math][b]ABC [/b][math]\in[/math][b] Int([/b][math]\Delta[/math][b]ABC). [/b]
Demonstraţi că[b] OH [/b][math]\perp[/math][b] (ABC).[/b]
CO [math]\perp[/math] (AOB)[math]\supset[/math] AB [math]\Rightarrow[/math] CO [math]\perp[/math] AB [math]\Leftrightarrow[/math] AB [math]\perp[/math] CO. (1)[br]OD [math]\perp[/math] AB [math]\Leftrightarrow[/math] AB [math]\perp[/math] OD. (2)[br]Din (1) şi (2) [math]\Rightarrow[/math] AB [math]\perp[/math] (COD). (3) [br]AB [math]\subset[/math] (ABC). (4)[br]Din (3) şi (4) [math]\Rightarrow[/math] (ABC) [math]\perp[/math] (COD) [math]\Leftrightarrow[/math] (COD) [math]\perp[/math] (ABC). (5)[br]Analog, se demonstrează că (AOE) [math]\perp[/math] (ABC). (6)[br]Dar, (COD) [math]\cap[/math] (AOE) = OH. (7)[br]Din (5), (6) şi (7) [math]\Rightarrow[/math] [b]OH [/b][math]\perp[/math][b] (ABC)[/b].[br]
Demonstraţi că [b]OH =[/b] [math]\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}[/math].
[math]\Delta[/math] AOB: m([math]\angle[/math]O) = 90[math]^\circ[/math], AD [math]\perp[/math] AB [math]\Rightarrow[/math] OD = [math]\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]. (1)[br][math]\Delta[/math] COD: m([math]\angle[/math] O) = 90[math]^\circ[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]CD^2=OC^2+OD^2[/math]. [math]\Rightarrow[/math] [math]CD=\frac{\sqrt{\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2}}{\sqrt{a^2+}b^2}[/math]. (2)[br][math]A_{\left(\Delta ABC\right)}=\frac{AB\circ CD}{2}[/math]. (3)[br]Din (2) şi (3) [math]\Rightarrow[/math] [math]A_{\left(\Delta ABC\right)}=\frac{\sqrt{\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2}}{2}[/math]. (4)[br][math]V_{OABC}=A_{\left(\Delta ABC\right)}\cdot\frac{OH}{3}=\frac{\left(a\cdot b\right)}{2}\cdot\frac{c}{3}[/math]. (5)[br]Din (4) şi (5) [math]\Rightarrow OH=\frac{abc}{\sqrt{\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2}}[/math]. (6)[br][b]Observaţie: [/b]Din (6)[math]\Rightarrow[/math] [math]\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/math]. (7)[br][br][br]