Gegeben ist eine Funktion [math]f(x)=\sqrt{x}\left(x^2-10x+25\right)[/math].[br]a) Zeichne den Graphen von [i]f(x)[/i].[br]b) Bestimme die Nullstellen, lokalen Extrema sowie den Wendepunkt von [i]f(x)[/i].[br]c) Ermittle die Argumente [i]x[/i], für die die Tangente an [i]f(x) [/i]eine Steigung von 30° aufweist.[br]d) Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graphen von [i]f(x) [/i]an der Stelle [i]x=2[/i].

[table][tr][td]1.[/td][td]Gib die Gleichung der Funktion [math]f\left(x\right)=\sqrt{x}\left(x^2-10x+25\right)[/math] in die [i]Eingabezeile [/i]ein und drücke [i]Enter[/i].[/td][/tr][tr][td][br][/td][td][b]Anmerkung:[/b] Der Graph von [i]f(x)[/i] wird in der [i]Grafik-Ansicht[/i] angezeigt.[/td][/tr][tr][td]2.[/td][td]Berechne die Nullstellen von [i]f(x)[/i], indem du den Befehl [math]Löse(f=0)[/math] oder [math]Nullstelle(f)[/math] in die [i]Eingabezeile [/i]eingibst[i].[/i][/td][/tr][tr][td]3.[/td][td]Um die lokalen Extrema zu bestimmen, verwende den Befehl [math]Löse\left(f'\left(x\right)=0\right)[/math].[/td][/tr][tr][td]4.[/td][td]Untersuche, ob [i]x = 1[/i] und [i]x = 5[/i] tatsächlich Stellen von Tiefpunkten oder Hochpunkten sind, indem du die zweiten Ableitungen an diesen Stellen mit [math]f''(1)[/math] und [math]f''(5)[/math] bestimmst.[/td][/tr][/table][table][tr][td]5.[/td][td]Berechne die y-Koordinaten der Extrempunkte, indem du [math]f\left(\left\{1,5\right\}\right)[/math] in die [i]Eingabezeile [/i]eingibst.[/td][/tr][/table]

[table][tr][td]6.[/td][td]Um den Wendepunkt zu berechnen, verwende den Befehl [math]Lösungen\left(f''\left(x\right)=0\right)[/math] und wähle anschließend [i]Beschriftung hinzufügen[/i] vom Kontextmenü, um die Liste der Lösungen [i]l1 [/i]zu nennen.[br]Da nur eine der Lösungen im Definitionsbereich von [i]f(x)[/i] liegt, gib [math]a=Element\left(l1,2\right)[/math] ein, um diese Lösung zu benennen und diese wiederverwenden zu können.[br][/td][/tr][tr][td]7.[/td][td]Berechne die y-Koordinate des Wendepunktes, indem du [math]b=f\left(a\right)[/math] in die [i]Eingabezeile [/i]eingibst.[i] [br][/i]Du kannst nun den Wendepunkt in der [i]Grafik-Ansicht[/i] anzeigen, indem du die Koordinaten[i] A=(a, b) [/i]eingibst[i].[/i][/td][/tr][tr][td]8.[/td][td]Um die Stellen [i]x[/i] zu finden, in denen die Funktion eine Steigung von 30° aufweist, verwende den Befehl [math]Löse\left(f'\left(x\right)=tan\left(30°\right)\right)[/math].[/td][/tr][tr][td]9.[/td][td]Ermittle die Gleichung der Tangente von [i]f(x)[/i] bei [i]x = 2, [/i]indem du [math]Tangente(2,f)[/math] in die [i]Eingabezeile [/i]eingibst.[i] [/i]Die Tangente wird in der [i]Grafik-Ansicht [/i]angezeigt.[br][/td][/tr][/table][table][tr][td][br][/td][/tr][/table]