[br]Jo funktioiden osiossa ratkaistiin tehtävä, jossa optimoitiin (etsittiin matemaattisesti paras ratkaisu) jotakin ulkoranennuksen kokoon liittyvää. Siinä tehtävässä asetelma oli sellainen, että koko juttu voitiin ratkaista pelkällä toisen asteen polynomilla. Nyt kuitenkin asetelma on erilainen, ja tämän tapauksen ratkaisuun meidän on pakko käyttää derivaattaa. Usein tälläisissä "suurin mahdollinen" tehtävissä muodostetaan jokin funktio, ja etsitään sen suurin arvo muodostamalla funktion derivaatta ja etsimällä sen nollakohta. Niin tehdään nytkin.[br][br]Tehtävänanto:[br][br]Ollaan rakentamassa niin suurta tasakattoista suljettua ulkorakennusta kuin raha sallii. Materiaalit rakennuksen lattiaan maksavat 50 euroa per neliömetri, attoon 80 euroa per neliömetri, ja seiniin 90 euroa per neliömetri. Tahdotaan rakentaa tasan 1200 kuutiometriä tilavuudeltaan oleva rakennus. Rakennuksen korkeutta ei ole rajoitettu, ja tarkoitus on minimoida kustannukset.[br][br](a)[br]Rakennus on neliön muotoinen. Laske rakennuksen sivun pituus.[br][br](b)[br]Rakennus on ympyrän muotoinen. Laske rakennuksen halkaisija.

RATKAISU:[br][br](a)[br]Olkoon jälleen katoksen sivun pituus [math]\Large x [/math], ja katoksen korkeus [math]\Large h [/math]. [br]Katoksen lattian hinnaksi tulee [math] \Large x^2 \cdot 80 [/math] ja katon hinnaksi [math] \Large x^2 \cdot 50 [/math]. Koska katoksen tilavuus [math]\Large V = x^2 h = 1200 [/math], voidaan ilmaista[br] [math]\Large h = \frac{1200}{x^2} [/math]. Seinien hinnaksi tulee siis [math]\Large 4 \cdot x \cdot h \cdot 90 = 4 \cdot \frac{1200}{x} \cdot 90 [/math]. Kutsutaan rakentamisen kustannuksia kuvaavaa funktiota [math]\Large f [/math]. Saadaan[br][br] [math]\Large[br]f(x) = 4 \cdot \frac{1200}{x} \cdot 90 + x^2 \cdot 80 + x^2 \cdot 50[br][/math][br][br] [math]\Large[br]f(x) = 130x^2 + \frac{432000}{x}[br][/math][br][br]Halutaan siis minimoida kustannukset, eli on etsittävä funktion [math]\Large f(x) [/math] pienin arvo. Avoimella välillä [math]\Large ]0,\infty[ [/math] funktion [math]\Large f [/math] pienin arvo löytyy sen derivaatan nollakohdista tai pisteistä, joissa derivaattaa ei ole määritelty. Koska [math]\Large f [/math][br]on em. välillä kaikkialla jatkuva ja derivoituva, pitää tutkia sen derivaatan nollakohdat.[br][br][math]\Large[br]f'(x) = 2 \cdot 130 \cdot x - \frac{432000}{x^2} = 0[br][/math][br][br][math]\Large[br]260x^3 - 432000 = 0[br][/math][br][br][math]\Large[br]260x^3 = 432000[br][/math][br][br][math]\Large[br]x^3 = 1661.5[br][/math][br][br][math]\Large[br]x = 11.844[br][/math][br]

Katsomalla merkkikaaviota (yllä) voidaan päätellä, että kyseessä on funktion minimikohta. Näin ollen siis suurin mahdollinen ulkorakennus, joka annetulla budjetilla voidaan rakentaa, on sellainen, jonka sivunpituus on x=11.84.

(b)[br][br]Olkoon jälleen katoksen pohjan säde [math]\Large r [/math], ja korkeus [math]\Large h [/math]. Koska katoksen tilavuus [math]\Large V=\pi r^2 h=1200 [/math], ja näin ollen [math]\Large h = \frac{1200}{\pi r^2} [/math], saadaan seinien hinnaksi [math]\Large 2\pi r \cdot h \cdot 90 = 2 \cdot \frac{1200}{r} \cdot 90 [/math]. Lattiaan kuluu raha [math] \Large \pi r^2 \cdot 50 [/math] ja kattoon [math] \Large \pi r^2 \cdot 80 [/math]. Kokonaiskustannukset ovat siis[br][br][math]\Large[br]f(r)= 2 \cdot \frac{1200}{r} \cdot 90 + \pi r^2 \cdot 50 + \pi r^2 \cdot 80[br][/math][br][br][math]\Large[br]f(r)= 130\pi r^2 + \frac{216000}{r}[br][/math][br][br]Kuten edellisessä kohdassa, on etsittävä [math]\Large f [/math]:n derivaatan nollakohdat.[br][br][math]\Large[br]f'(r) = 2 \cdot 130\pi r - \frac{216000}{r^2} = 0 [br][/math][br][br][math]\Large[br]260\pi r^3 - 216000 = 0 [br][/math][br][br][math]\Large[br]260\pi r^3 = 216000[br][/math][br][br][math]\Large[br]r^3 = 264.44[br][/math][br][br][math]\Large[br]r = 6.4186[br][/math][br][br][br][br]

Merkkitaulukosta (yllä) voimme päätellä, että kyseessä todella on funktion minimikohta. Suurin piharakennus, joka tällä budjetilla voidaan toteuttaa, on siis sellainen, jonka halkaisija on [math]\Large[br]d = 2r=12.84 [/math][br][br]