[size=150][b]＜微分の過去をざっくりと＞[br][/b][size=100][color=#0000ff][b]微積分[calculus][/b][/color]の土台になる[color=#0000ff][b]微分(differentiaton)[/b][/color]をふり返ってみよう。[br]複雑な関数でも瞬間的には３つの種類の変化しかない。増加傾向か一定傾向か、減少傾向のどれかだ。変化の傾向をつかむには、[color=#0000ff]微小部分を直線とみなし、[b]その傾き[slope][/b]がわかればよい。[/color]これが「微分の発想」である。そして、微分するということは、関数からその傾きを表す導関数を求めることである。[br]デカルトからニュートンまで、関数とは「[color=#0000ff]曲線という図形[/color]」だった。数式は表示手段であった。[br]オイラーからは、関数は「[color=#0000ff]多項式という数式（無限級数）[/color]」だとした。図形はその表示手段となる。[br]コーシーからは、関数は「[color=#0000ff]点集合[/color]X[color=#0000ff]から点集合Yへの１対１の対応（写像）[/color]」いう、関係そのものだとした。図形も数式も表示手段となる。[br]関数の捉え方が変わると、微分の表現も変わっていった。今の数学Ⅱで学ぶのコーシー以前のもので、数学Ⅲと大学数学でコーシー流にかく。[/size][size=100]微分を学ぶことで、関数の定義が明確になり関数の観察力が高まるでしょう。[br][/size][/size][size=150][b]＜極限値＞[/b][/size][br]ｘを限りなく大きくすると、1/xは限りなく０に近づく。[br]0は1/xの[color=#0000ff][b]極限値[limit][/b][/color]で、[math]^{lim}_{_{x\longrightarrow\infty}}\frac{1}{x}=0[/math] とかく。[br]ｘを限りなく0に近づけると、y=ｘ²＋ｘ＋１は限りなく1に近づく。[br]１はx[sup]2[/sup]+x+1の極限値で、[math]^{lim}_{x\longrightarrow0}x^2+x+1=1[/math]　とかく。[br]ｘを限りなくaに近づけると、y＝f(x)が限りなくｂに近づくとき、[br]bはf(x)の極限値で、[math]^{lim}_{x\longrightarrow a}f\left(x\right)=b[/math] とかく。[br]※厳密には、ｂが関数f(x)の極限値だといえるのは、[br]ｘがaより小さいところから近づいても、aより大きいところから近づいてもf(x)が同じ値に近づき、[br]その値がｂのときに限る。[br]ただし、b=f(a)になる必要はない。ｂと違う値c=f(a)に飛んでいても、ｂを極限値として扱う。[br]また、ｘがaに近づくときの極限値bは[color=#0000ff][b]代入(plug)[/b]した[/color]値f(a)が使えるとは限らない。[br][color=#0000ff]（例）代入で出せる場合[br][/color][math]^{lim}_{x\longrightarrow3}x^2-10=-1[/math] 極限値は代入でf(3)=-1とだせる。[br][color=#0000ff]（例）代入すると0/0になる場合[/color][br][b][math]\text{^{lim}_{x\longrightarrow5}[br]\frac{x^2-25}{x-5}}[/math] [/b]代入すると0/0になってしまう。[br]分子を因数分解(factoring)して約分(canceling)してから代入(plugging)で出せる。[br][math]^{lim}_{x\longrightarrow5}\left(x+5\right)=10[/math][br][color=#0000ff]（例）代入すると∞-∞になる場合[/color][br]ｘが１/xになるような式変形して、０になる部分を作る。[br][math]^{lim}_{x\longrightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)[/math] [br][br][math]\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}=\frac{x^2+x-x^2}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}[/math][br]=[math]\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\longrightarrow\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}[/math][br][b][size=150]＜微分係数＞[br][/size][/b]yの増分をΔｙ、xの増分をΔｘ（または、ただh)とかくことにする。[br]関数y=f(x)の[color=#0000ff][b]平均変化率,差の商[average rate, defference quotient][/b][/color]＝Δy/Δx=[math]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math] [br](ｘがaからｂに変化するとき）ｘの増分をb-a=hとすると、b=a+hとなるから、[math]\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}[/math]。[br]関数y=f(x)のaにおける[color=#0000ff][b]微分係数,瞬間変化率[ instantaneous rate,differential coefficient][/b]は[br][/color]=[math]^{lim}_{\bigtriangleup x\longrightarrow0}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{\bigtriangleup x}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}[/math] でdf(x)/dx (x=a) =f'(a)とかく。[br][br]ｈを使うことで、差の商を分母がhで、分子がaとhだけの式に直せる。[br]すると、hで約すことができ、hに0を代入することで、hの影響のない式に直したりすることができる。[br][br]微分係数はｙ＝f(x)のグラフのx=aの点における[color=#0000ff][b]接線の傾き[slope of the tangent line ][/b][/color]。[br][size=150][b][br]＜導関数＞[/b][/size][br]関数y=f(x)の[color=#0000ff][b]導関数[デリバティブ、derivative][/b][br][/color]f'(x)は、[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\text{ }\left(x\right)}{h}[/math][br]微分係数f’(a)のaを変数ｘのおきかえて得られるｘの関数で、[br]dy/dx, df(x)/dx,f'(x),y',[math]\frac{d}{dx}f\left(x\right)[/math]　などとかく。[br][color=#0000ff]導関数を求めることを微分するという。[/color]

[b][size=150]＜定数の導関数＞[/size][/b][br]y=f(x)=cとすると、[color=#0000ff][size=150][b](c)'=0 [/b][size=100][Constant Rule][/size][/size][/color][br]平均変化率[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{h}\text{＝}^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{c-c}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}0=0[/math][br]微分係数はf'(a)=0だから、a=xとおきかえても0。[br]はじめから導関数を求める。[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{c-c}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}0=0[/math][br][br][b][size=150]＜直線の導関数＞[/size][/b][br]y=f(x)=ax+bとすると、[color=#0000ff][size=150][b](ax)'=a[/b][size=100] [Line Rule][/size][/size][/color][br]平均変化率[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{h}\text{＝}^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{a\left(x+h\right)+b-\left(ax+b\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{ah}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}a=a[/math][br]微分係数はf'(a)=aだから、a=xとおきかえてもx。[br]はじめから導関数を求める。[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{a\left(x+h\right)+b-\left(ax+b\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{ah}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}a=a[/math][br][br]

[b][size=150]＜単項式の微分＞[br][/size][/b] nが2のとき(x[sup]2[/sup])'=2x[br] [math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{2xh+h^2}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}2x+h=2x[/math][br] nが3のとき(x[sup]3[/sup])'=3x[sup]2[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^3-x^3}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}3x^2+h\left(3x+h2\right)=3x^2[/math][/sup][br] nが整数のとき[color=#0000ff][b][size=150](x[sup]n[/sup])'=nx[sup]n-1[/sup][/size][sup][/sup][/b][/color] [color=#0000ff][Power Rule][/color][br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{nx^{n-1}h+h^2\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}nx^{n-1}+h\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\right)=nx^{n-1}[/math][br]結局xnの微分は(x+1)[sup]n[/sup]のn-1次の項となり、係数はnC1=nとなる。だから、(xn)'=nx[sup]n-1[/sup][br][br][b][size=150]＜多項式の微分＞[br][/size][/b]・[b][size=150][color=#0000ff](f+g)'=f'+g'、(f-g)'=f'-g'[/color] [/size][/b][color=#0000ff][Sum,Difference Rule][/color][br]　差の商がｆの差の商とｇの差の商に分解できるので、和の微分は項別の微分の和になる。[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)+g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)[/math][br]・倍は微分の外に残る（cが定数）[br][color=#0000ff][size=150][b]（c・f(x))'=c・f'(x)[/b][size=100] [color=#0000ff][constant Multiple Rule][/color][/size][/size][/color][br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{cf\left(x+h\right)-cf\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}c\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=cf'\left(x\right)[/math][br]・このように微分という操作は加法と定数倍が外に出せるので、線形の変換である。[br]・したがって、因数分解された式の微分は展開して、項別に微分をすればよい。[br]・良い方法が見つからないときは、導関数の定義（差の商のhを０にできる式に変形して極限値）を求めよう。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\sqrt{4x+5}[/math] の導関数は？[br]差の商のｈ倍は、[br][math]\sqrt{4\left(x+h\right)+5}-\sqrt{4x+5}=\left(\sqrt{4\left(x+h\right)+5}-\sqrt{4x+5}\right)\frac{\left(\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}\right)}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}[/math][br]=[math]\frac{\left(4\left(x+h\right)+5\right)-\left(4x+5\right)}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}=\frac{4h}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}[/math][br]導関数は[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{4h}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}\left(\frac{1}{h}\right)=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color](2ｘ-3)[sup]3[/sup]の導関数は？[br]　展開して、(2x)[sup]3[/sup]+(-3)[sup]3[/sup]+3 (2x)(-3)(2x-3)=8x[sup]3[/sup]-27-36x[sup]2[/sup]+54xだから、[br] 項別微分の和は、24x[sup]2[/sup]-72x+54。[br] [br][color=#0000ff]（例）[/color]f(x)=x[sup]3[/sup]-3x[sup]2[/sup]-6x-2のｘが０から４までの平均変化率とｆ’（ｃ）が等しくなるｃは？[br] f'(c)=3c[sup]2[/sup]-6c-6が平均変化率=(f(4)-f(0))/(4-0)=-2と等しい。[br]　3c[sup]2[/sup]-6c-6+2=3c[sup]2[/sup]-6c-4=0 c=3+-√(9+12)/3[br][color=#0000ff]（例）[/color]「多項式f(x)の最高次数係数が1で(x-1)f'(x)=2f(x)+8となるf(x)」は？[br]　最高次数項に着目しよう。f(x)がｎ次式ならば、最高次数項はx[sup]n[/sup]で、f'(x)=nx[sup]n-1[/sup]である。[br]　最高次数項の係数比較をすると、x・nx[sup]n-1[/sup]=2x[sup]n[/sup]より、n=2。だからf(x)=x[sup]2[/sup]+ax+bとおける。[br] (x-1)f'(x)=(x-1)(2x+a)=2x[sup]2[/sup]+(a-2)x-a=2x[sup]2[/sup]+2ax+2b+8 となりa-2=2aから、a=-2、b=(-(-2)-8)/2=-3。[br]　f(x)=x[sup]2[/sup]-2x-3[br]

[b][size=150]＜積の微分＞[/size][/b][br]・[b][size=150][color=#0000ff](fg)'=f'g+fg' [/color][/size][/b][color=#0000ff][Product Rule][/color][br][color=#38761d]（理由）[/color][br]p(x)=f(x)g(x)とすると、[br]p(x)の差の商のｈ倍は、[br][math]f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(h\right)=f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x+g\right)+f\left(x\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)[/math][br]=[math]g\left(x+h\right)\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]+f\left(x\right)\left[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right][/math][br]p(x)の差の商の極限値、つまり、導関数は、[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\left(\frac{1}{h}\right)g\left(x+h\right)\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]+\left(\frac{1}{h}\right)f\left(x\right)\left[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right]=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)[/math][br][b][size=150]＜関数の逆数の微分>[/size][/b][br]・[b][size=150][color=#0000ff](1/f)'=-f'/f[/color][sup][color=#0000ff]2[/color] [/sup][/size][/b][color=#0000ff][Reciprocal Rule][/color][color=#38761d][br]（理由）[/color][br]p(x)=1/f(x)とすると、[br]p(x)の差の商のｈ倍は、[br][math]\frac{1}{f\left(x+h\right)}-\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x+h\right)}{f\left(x+h\right)f\left(x\right)}=-\frac{1}{f\left(x+h\right)f\left(x\right)}\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)[/math][br]p(x)の差の商の極限値、つまり、導関数は、[br][math]-^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{1}{f\left(x+h\right)f\left(x\right)}\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)\left(\frac{1}{h}\right)=-\frac{1}{f^2\left(x\right)}f'\left(x\right)[/math][br][b][size=150]＜分数関数、商の微分＞[/size][/b][br]・[size=150][color=#0000ff][b](f/g)'=(f'g-fg')/g[/b][sup][b]2[/b][/sup][/color][/size][sup][b][/b] [/sup][color=#0000ff][Quotient Rule][br][/color][color=#38761d]（理由）[/color][br]p(x)=f/g=f・1/gとすると、[br](f/g)'=[math]\left(f\cdot\frac{1}{g}\right)'=f'\cdot\left(\frac{1}{g}\right)+f\cdot\left(\frac{1}{g}\right)'=f'\cdot\left(\frac{g}{g^2}\right)+f\cdot\left(-\frac{g'}{g^2}\right)=\frac{1}{g^2}\left(f'g-fg'\right)[/math][br][b][size=150]＜合成関数の微分＞[br][/size][/b][color=#0000ff][size=150][b]・[math]\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}[/math][/b][/size] [Chain Rule] 分数のかけ算のように連鎖的にかける。[/color][br]y=y(x)とすると、[br](z(y(x)))'[br]dz(y(x))/dx=dz(y)/dy・dy(x)/dx=z'(y(x))・y'(x)。[br]玉ねぎの皮を１枚ずつ裏返してむく逆算と似ているイメージ。[br]剥がすときの変数はカッコの中全体だから、微分したあとでもカッコの中が残る。[br][color=#0000ff][b]合成関数の微分を連鎖的に使える。[br][size=150]・ds/dp=ds/dr・dr/dq・dq/dp[br][/size][/b][/color](s(r(q(p))))'=s'(r(q(p)))・r'(q(p))・q’(p)[br][br][color=#0000ff]（例）ｚ＝[/color][math]\sqrt{4x+5}[/math] の導関数は？[br]z=y[sup]1/2[/sup],y=4x+5のように、zを合成関数としてみる。[br][br]z'=z'(y)・z'=[math]\left(y^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)'\cdot\left(4x+5\right)'=\frac{1}{2}y^{\left(\frac{1}{2}-1\right)}\cdot4[/math]=[math]\frac{1}{2\sqrt{4x+5}}\cdot4=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}[/math][br][color=#0000ff]（例）z=[/color](2ｘ-3)[sup]3[/sup]の導関数は？[br]z=y[sup]3[/sup],y=2x-3のように、ｚを合成関数とみる。[br]z'=z'(y)・y'=3y[sup]2[/sup]・2=6(2x-3)[sup]2[/sup]=6(4x[sup]2[/sup]-12x+9)=24x[sup]2[/sup]-72x+54。[br][br]