[size=85]Vier (verschiedene) Punkte [/size][math]\mathbf\vec{p}_i=\mathbf\vec{p}\left(z_i\right), i=1,...,4[/math] [size=85]können auf drei Weisen paarweise durch Geraden verbunden werden:[/size][list][*][math]\mathbf\vec{g}_{12}=\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_2\,\right] [/math] [size=85]und[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{34}=\left[\,\mathbf\vec{p}_3\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right] [/math][/*][size=85][/size][size=85][/size][size=50][/size][br][*][math]\mathbf\vec{g}_{13}=\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_3\,\right] [/math] [size=85]und[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{24}=\left[\,\mathbf\vec{p}_2\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right] [/math] [/*][size=50][/size][br][*][math]\mathbf\vec{g}_{14}=\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right] [/math] [size=85]und[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{23}=\left[\,\mathbf\vec{p}_2\,,\,\mathbf\vec{p}_3\,\right] [/math] [br][/*][/list][br][size=85]Für die [b]Lie[/b]-Produkte[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{1234}=\left[\,\mathbf\vec{g}_{12}\,,\,\mathbf\vec{g}_{34}\,\right] [/math] , [math]\mathbf\vec{g}_{1324}=\left[\,\mathbf\vec{g}_{13}\,,\,\mathbf\vec{g}_{24}\,\right] [/math] [size=85]und[/size] [math]\mathbf\vec{g}_{1423}=\left[\,\mathbf\vec{g}_{14}\,,\,\mathbf\vec{g}_{23}\,\right] [/math] [size=85]rechnet man leicht nach [br](mittel Hilfe der allgemeinen Entwicklungsregel, Rechnungsbeispiel s. u. *)):[/size][br] [math]\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet\mathbf\vec{g}_{1324}=\mathbf\vec{g}_{1324}\bullet\mathbf\vec{g}_{1423}=\mathbf\vec{g}_{1423}\bullet\mathbf\vec{g}_{1234} = 0 [/math] [br][size=85]Denkt man sich die Verbindungsgeraden-Vektoren von vornherein normiert: [/size][math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{ij}=\frac{\left[\,\mathbf\vec{p}_i\,,\,\mathbf\vec{p}_j\,\right]}{\mathbf\vec{p}_i\cdot \mathbf\vec{p}_j}\ , i \ne j ,[/math] [size=85]so gelten[/size][br] [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{ij}\bullet \mathbf\dot{\vec{g}}_{ij} = \frac{\mathbf\vec{p}_i\bullet \mathbf\vec{p}_i*\mathbf\vec{p}_j\bullet \mathbf\vec{p}_j-\left(\mathbf\vec{p}_i\bullet \mathbf\vec{p}_j\right)^2}{\left(\mathbf\vec{p}_i\bullet \mathbf\vec{p}_j\right)^2} = -1\ , i \ne j ,[/math] [br][size=85]und für die [b]Lie[/b]-Produkte [/size][math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{1234}=\left[\,\mathbf\dot{\vec{g}}_{12}\,,\,\mathbf\dot{\vec{g}}_{34}\,\right] [/math] , [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{1324} [/math] [size=85]und[/size] [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_{1423} [/math][size=85] (entsprechend definiert) erhält man damit:[br] [/size][math]\left(\mathbf\dot{\vec{g}}_{1234}\right)^2=\left(\mathbf\dot{\vec{g}}_{1324} \right)^2=\left(\mathbf\dot{\vec{g}}_{1423} \right)^2=1[/math]. [br][size=85]Diese Geradenvektoren bilden also in [/size][math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math] [size=85]eine [b]ON-Basis[/b].[/size] [size=85]Die Pole dieser Basis-Vektoren sind die Schnittpunkte [br]von 3 paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] Kreisen und können bei geeigneter Orientierung durch eine Möbiustransformation [br]auf die Punktepaare [math]\{0\,,\,\large\infty\}[/math] , [math]\{ -1\,,\, 1\}[/math] und [math]\{ -i\,,\, i \}[/math] abgebildet werden. [br]Wegen [math]\mathbf\vec{g}_{1234}=\left[\,\mathbf\vec{g}_{12}\,,\,\mathbf\vec{g}_{34}\,\right] [/math] gilt [math]\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet\mathbf\vec{g}_{13}=\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet\mathbf\vec{g}_{34}= 0 [/math], also trennen die Pole [math]z12_1[/math] und [math]z12_2[/math] von [math]\mathbf\vec{g}_{1234} [/math] [br]die Punktepaare [math]\{\,z_1\, ,\, z_2\,\}[/math] } und [math]\{\,z_3\, ,\,z_4\,\}[/math] } harmonisch. [br]Sind [/size][size=85] [math]\{\,0\,, \,\large\infty\,\}[/math] die Pole von [math]\mathbf\vec{g}_{1234} [/math] nach der Möbiustransformation, so sind [br] - die Bilder [math]b_i[/math] von [math]\{\,z_1\, ,\, z_2\,\}[/math] bzw. [math]\{\,z_3\, , \,z_4\,\}[/math] } [size=85]punktesymmetrisch zum Ursprung: [math]b_2=-b_1[/math] und [math]b_4=-b_3[/math] . [br] - Die Bilder der Punktepaare [math]\{\,z_1\, , \,z_3\,\}[/math] bzw. [math]\{\,z_2\, ,\, z_4\,\}[/math] liegen entsprechend harmonisch zu [math]\{\, -1\,, \,1\, \}[/math], [br] d.h. es muss [math]b_3=\frac{1}{b_1}[/math] und [math]b_4=\frac{1}{b_2}[/math] gelten:[br][u][i][b]Fazit:[/b][/i][/u] 4 verschiedene Punkte der Möbiusebene können stets durch eine [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] [br] auf [math]\{\,f\,,\,-f\,,\,\frac{1}{f}\,,\,-\frac{1}{f}\,\}[/math], für ein geeignetes [math]f\in\mathbb{C}[/math] abgebildet werden. [br][/size][br][/size][size=50][u][i][b]Hinweis zu den für das obige Applet zugrundeliegenden Rechnungen:[/b][/i][/u] [br]die komplexen Zahlen [/size][math]z_i[/math] [size=50]werden im euklidischen KOS auf die komplexen Berührgeradenvektoren [/size][math]\small\mathbf\vec{p}_i=\mathbf\vec{p}\left(z_i\right), i=1,...,4[/math] [size=50]abgebildet. [br][i][b]LIE-Produkte[/b][/i] werden mit dem komplexen Kreuzprodukt berechnet. [br]Um die Pole eines Geradenvektors [/size][math]\small\mathbf\vec{g}\in\mathbf\mathcal{ G}[/math] [size=50]zu berechnen, muss man die Lösungen der [i][b]komplexen[/b][/i] [i][b]quadratischen Gleichung[/b][/i] [/size][math]\small\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)=0[/math] [size=50]bestimmen.[/size][br][br][size=85][b]*)[/b] Begründung für die Gleichung [/size] [math]\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet\mathbf\vec{g}_{1324} = 0 [/math] [br][br] [math]\mathbf\left[\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_2\,\right]\,,\,[\left[\,\mathbf\vec{p}_3\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right]\,\right]\bullet \mathbf\left[\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_3\,\right]\,,\,[\left[\,\mathbf\vec{p}_2\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right]\,\right] = [/math] [br] [math]= \left(\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_2\,\right]\bullet \left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_3\,\right]\right) \cdot \left(\left[\,\mathbf\vec{p}_3\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right]\bullet \left[\,\mathbf\vec{p}_2\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right]\right) - \left(\left[\,\mathbf\vec{p}_3\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right]\bullet \left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_3\,\right]\right) \cdot \left(\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_2\,\right]\bullet \left[\,\mathbf\vec{p}_2\,,\,\mathbf\vec{p}_4\,\right]\right)[/math] [br] [math]= \left(-\left(\,\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_2\,\right)\cdot \left(\,\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_3\,\right)\right) \cdot \left(-\left(\,\mathbf\vec{p}_3\bullet\mathbf\vec{p}_4\,\right)\cdot\left(\,\mathbf\vec{p}_2\bullet\mathbf\vec{p}_4\,\right)\right) - \left(\left(\,\mathbf\vec{p}_3\bullet\mathbf\vec{p}_4\,\right)\cdot \left(\,\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_3\,\right)\right) \cdot \left(\left(\,\mathbf\vec{p}_1\bullet\mathbf\vec{p}_2\,\right)\cdot \left(\,\mathbf\vec{p}_2\bullet\mathbf\vec{p}_4\,\right)\right) = 0[/math] [br]