Sea la función exponencial de base [math]a>1,f\left(x\right)=a^x,a\in\left(1,+\infty\right)[/math] [br]El dominio de la función son todos los números reales. [math]Dom\left(f\right)=\mathbb{R}[/math].[br]La imagen de la función, son todos los números positivos. [math]Rec\left(f\right)=Im\left(f\right)=\left(0,+\infty\right)[/math].[br]La función exponencial de base [math]a>1[/math] es creciente.[br]La función exponencial de base [math]a>1[/math] es inyectiva.[br]La función exponencial de base [math]a>1[/math] pasa por los puntos (0, 1) y (1,[math]a[/math]);[br]Curiosidad: [math]f\left(x+y\right)=f\left(x\right)\cdot f\left(y\right)[/math] Ejemplo: [math]a^5=f\left(5\right)=f\left(2+3\right)=f\left(2\right)\cdot f\left(3\right)=a^2\cdot a^3[/math][br][br][br]

Sea la función exponencial de base [math]b,b\in\left(0,1\right),f\left(x\right)=b^x[/math] [br]El dominio de la función son todos los números reales. [math]Dom\left(f\right)=\mathbb{R}[/math].[br]La imagen de la función, son todos los números positivos. [math]Rec\left(f\right)=Im\left(f\right)=\left(0,+\infty\right)[/math].[br]La función exponencial de base [math]b,b\in\left(0,1\right)[/math] es decreciente.[br]La función exponencial de base [math]b,b\in\left(0,1\right)[/math] es inyectiva.[br]La función exponencial de base [math]b,b\in\left(0,1\right)[/math] pasa por los puntos (0, 1) y (1,[math]b[/math]);[br]Curiosidad: [math]f\left(x+y\right)=f\left(x\right)\cdot f\left(y\right)[/math] Ejemplo: [math]b^7=f\left(7\right)=f\left(1+6\right)=f\left(1\right)\cdot f\left(7\right)=b^1\cdot b^6[/math][br][br][br]

Sea la función logarítmica de base [math]a>1,f\left(x\right)=\log_a\left(x\right),a\in\left(1,+\infty\right)[/math] [br]El dominio de la función son todos los números reales positivos. [math]Dom\left(f\right)=\left(0,+\infty\right)=\mathbb{R}^+[/math].[br]La imagen de la función son todos los números reales. [math]Rec\left(f\right)=Im\left(f\right)=\mathbb{R}[/math].[br]La función logarítmica de base [math]a>1[/math] es creciente.[br]La función logarítmica de base [math]a>1[/math] es inyectiva.[br]La función logarítmica de base [math]a>1[/math] pasa por los puntos (1,0) y ([math]a[/math],1);[br][br][br]

Sea la función logarítmica de base [math]b,b\in\left(0,1\right)f\left(x\right)=\log_b\left(x\right)[/math] [br]El dominio de la función son todos los números reales positivos. [math]Dom\left(f\right)=\left(0,+\infty\right)=\mathbb{R}^+[/math].[br]La imagen de la función son todos los números reales. [math]Rec\left(f\right)=Im\left(f\right)=\mathbb{R}[/math].[br]La función logarítmica de base [math]b,b\in\left(0,1\right)[/math] es decreciente.[br]La función logarítmica de base [math]b,b\in\left(0,1\right)[/math] es inyectiva.[br]La función logarítmica de base [math]b,b\in\left(0,1\right)[/math] pasa por los puntos (1,0) y ([math]b[/math],1);[br][br][br]

Tiene dos botones y un campo de entrada. [br]Si pulsamos al botón parar animación y en el campo de entrada le damos un valor, no muy exagerado, por ejemplo 3, ese será el valor que le demos a [math]a[/math] y el inverso se lo asignaremos a [math]b[/math]. Y veremos la relación que hay entre las cuatro funciones. [br][br]Por ejemplo, si a = 2 entonces b = 1/2. [br]Entonces las funciones [math]y=2^x[/math] e [math]y=\left(\frac{1}{2}\right)^x[/math] son simétricas respecto del eje [math]OY[/math], es decir, si doblamos el plano por el eje [math]OY[/math] las gráficas de ambas funciones coincidirían. [br][br]Lo mismo pasa con las funciones [math]y=log_2\left(x\right)[/math] y [math]y=log_{\frac{1}{2}}\left(x\right)[/math] también son simétricas respecto del eje [math]OY[/math].[br][br]Otra curiosidad, es que las funciones [math]y=a^x[/math] e [math]y=log_a\left(x\right)[/math] son simétricas respecto de la recta [math]y=x[/math] y esto se debe a que estas funciones son inversas la una de la otra respecto a la composición de funciones.[br]Lo mismo ocurre con las funciones [math]y=log_b\left(x\right)[/math] e [math]y=b^x[/math].

Un caso particular son las funciones [math]y=e^x[/math] e [math]y=ln\left(x\right)[/math].[br]La base de ambas funciones es el número e [math]\simeq[/math]2,7182818284590452353602874713526624977...[br]En la gráfica se puede ver que ambas funciones son simétricas respecto de la recta [math]y=x[/math] y cumplen las propiedades anteriormente mencionadas de las funciones correspondientes.