Syntetická geometrie 2

Adéla Gřundělová, 2025. jan. 11.

Tato kniha slouží jako doplnění k ústní zkoušce ze Syntetické geometrie 2 - 2024/25

Tartalomjegyzék

  1. 1. Princip axiomatické výstavby geometrie
    1. MBDV - kružnice
    2. Euklidovy postuláty
  2. 2. Mnohoúhelníky. Čtyřúhelníky, rozdělení, vlastnosti. Čtyřúhelníky tětivové a tečnové.
    1. Konvexní a nekonvexní n-úhelník
    2. Čtverec tětivový a tečnový
    3. Deltoid
    4. Tětivový obecný čtyřúhelník
    5. Lomená čára a uzavřená lomená čára
    6. n-úhelníky
    7. Nekonvexní čtyřúhelník
    8. Konvexní čtyřúhelník
    9. Deltoid
    10. Čtverec tečnový a tětivový
  3. 3. Trojúhelníky, důležité body a čáry v trojúhelníku, věty o shodnosti trojúhelníků.
    1. rozdělení trojúhelníků
    2. Výšky v trojúhelníku
    3. Těžnice + střední příčka
    4. Euklidova věta o výšce
    5. Kružnice opsaná
    6. Kružnice vepsaná
    7. Pythagorova věta
    8. Thaletova kružnice
    9. Euklidova věta o odvěsně
    10. 4. množina G a Thaletova kružnice
  4. 4. Úhel, dvojice úhlů. Množiny bodů dané vlastnosti v rovině a prostoru.
    1. 0. úhly
    2. 1. kružnice a kruh
    3. 2. osa úsečky, úhlu a pásu
    4. 3. ekvidistanta přímky a kružnice
    5. 4. množina G a Thaletova kružnice
    6. 5. elipsa
    7. 6. parabola
    8. 7. hyperbola
    9. 8. kulová plocha
    10. 9. rotační válcová plocha
    11. 10. rotační kuželová plocha
    12. 11. rovnoběžné roviny
    13. 12. rovina souměrnosti dvou bodů
  5. 5. Kružnice. Vzájemná poloha přímky a kružnice, dvou kružnic. Mocnost bodu ke kružnici. Chordála.
    1. kružnice
    2. tečna, sečna, vnější přímka
    3. vzájemná poloha dvou kružnic
    4. Mocnost bodu ke kružnici
    5. chordála
    6. kružnice
    7. vzájemná poloha přímky a kružnice
    8. Vzájemná poloha dvou kružnic
    9. Mocnost bodu ke kružnici
    10. Chordála
  6. 6. Euklidovské konstrukce. Eulerova přímka. Feuerbachova kružnice ostroúhlého a tupoúhlého trojúhelníku.
    1. Základní Eukleidovské konstrukce
    2. Eulerova přímka
    3. Feuerbachova kružnice devíti bodů
    4. Vlastnosti Feuerbachovy kružnice
    5. Vztah mezi Feuerbachovou kružnicí A Eulerovou přímkou
  7. 7. Definice a základní vlastnosti shodných zobrazení v rovině. Skládání shodných zobrazení. Klasifikace shodných zobrazení v rovině. Shodnosti přímé a nepřímé.
    1. Středová souměrnost
    2. Osová souměrnost
    3. Posunutí
    4. Otočení
    5. Skládání dvou osových souměrností
    6. Příklady na shodnost
  8. 8. Definice a základní vlastnosti stejnolehlosti. Dělící poměr a jeho vlastnosti. Skládání stejnolehlosti. Kružnice ve stejnolehlosti.
    1. Stejnolehlost - zavedení a definice
    2. Stejnolehlost - zobrazení úsečky a přímky
    3. Stejnolehlost - zobrazení trojúhelníku
    4. Stejnolehlost dvou kružnic
    5. Stejnolehlost - tečny ke dvěma kružnicím
  9. 9. Definice a základní vlastnosti podobnosti. Rozklad přímé a nepřímé podobnosti. Samodružné body v podobnosti. Klasifikace podobnosti v rovině. Věty o podobnosti trojúhelníků.
    1. stejnolehlost záporný koeficientem
    2. stejnolehlost s kladným koeficientem
    3. samodružný bod
    4. posunutí
    5. středová souměrnost
    6. osová souměrnost
    7. Otočení
    8. Identita
    9. kružnice stejnolehlost
    10. Stejnolehlost
    11. Posunuté zrcadlení
    12. Osová souměrnost - dvě rovnoběžné osy = posunutí
    13. posunutí kosočtverečné
  10. 10. Kruhová inverze – pojem a základní vlastnosti, Apolloniovy úlohy
    1. Příklad 1: Samodružná kružnice v kruhové inverzi
    2. Příklad 2: Apolloniova úloha Bod, kružnice, kružnice
    3. Příklad 3: Tětivový čtyřúhelník
    4. Příklad 4: Kružnice v pásu mezi kružnicemi
    5. Příklad 5: Steinerův řetězec kružnic
    6. Příklad 6: Trojice kružnic procházející jedním bodem
    7. Příklad 7: Čtyřúhelník ABCD
    8. Příklad 8: Výpočet
    9. Příklad 9: Čtveřice dotýkajících se kružnic
    10. Příklad 10: Kruhová inverze, dvě kružnice
    11. Kruhová inverze 3
    12. Kruhová inverze, dvě kružnice
    13. Samodružná kružnice v kruhové inverzi
    14. Apolloniova úloha typu ppB
    15. Apolloniova úloha - bod, přímka a kružnice
  11. 11. Polohové vlastnosti prostorových útvarů. Vzájemná poloha přímek a rovin. Řezy těles rovinou.
    1. krychle
    2. jehlan
    3. Hranol
    4. válec
    5. koule
  12. 12. Velikost rovinných a prostorových útvarů. Jordanova teorie míry. Obvod a obsah rovinných útvarů. Povrch a objem těles.
    1. Obsah obrazce
    2. Objem krychle
    3. Objem kužele
  13. 13. Odchylky přímek a rovin, vzdálenosti v prostoru.
    1. Vzdálenosti přímek a rovin
    2. Odchylka přímek
    3. Odchylka přímky a roviny, dvou rovin
    4. Vzdálenost bodů
    5. Odchylka dvou rovin v krychli
  14. 14. Klasifikace a skládání shodných zobrazení v prostoru. Základní vlastnosti podobností v prostoru. Klasifikace a skládání podobností v prostoru.
    1. Pozorování osové souměrnosti
    2. Více os souměrnosti
    3. Pětiúhelník v osové souměrnosti
    4. Víceúhelník
    5. Skládání osových souměrností | trojúhelníky
    6. Podobnost - pravoúhlé
    7. Podobnost úseček
    8. Podobnost trojúhelníků
  15. 15. Mnohostěny, Eulerova věta. Platónové tělesa. Archimédova tělesa
    1. Pravidelný čtyřstěn
    2. Pravidelný šestistěn
    3. Pravidelný osmistěn
    4. Pravidelný dvanáctistěn
    5. Pravidelný dvacetistěn

1.

1. Princip axiomatické výstavby geometrie

  • 1. MBDV - kružnice
  • 2. Euklidovy postuláty

1.1.

–

1.2.

–

2.

2. Mnohoúhelníky. Čtyřúhelníky, rozdělení, vlastnosti. Čtyřúhelníky tětivové a tečnové.

  • 1. Konvexní a nekonvexní n-úhelník
  • 2. Čtverec tětivový a tečnový
  • 3. Deltoid
  • 4. Tětivový obecný čtyřúhelník
  • 5. Lomená čára a uzavřená lomená čára
  • 6. n-úhelníky
  • 7. Nekonvexní čtyřúhelník
  • 8. Konvexní čtyřúhelník
  • 9. Deltoid
  • 10. Čtverec tečnový a tětivový

2.1.

–

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

3.

3. Trojúhelníky, důležité body a čáry v trojúhelníku, věty o shodnosti trojúhelníků.

  • 1. rozdělení trojúhelníků
  • 2. Výšky v trojúhelníku
  • 3. Těžnice + střední příčka
  • 4. Euklidova věta o výšce
  • 5. Kružnice opsaná
  • 6. Kružnice vepsaná
  • 7. Pythagorova věta
  • 8. Thaletova kružnice
  • 9. Euklidova věta o odvěsně
  • 10. 4. množina G a Thaletova kružnice

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

4.

4. Úhel, dvojice úhlů. Množiny bodů dané vlastnosti v rovině a prostoru.

  • 1. 0. úhly
  • 2. 1. kružnice a kruh
  • 3. 2. osa úsečky, úhlu a pásu
  • 4. 3. ekvidistanta přímky a kružnice
  • 5. 4. množina G a Thaletova kružnice
  • 6. 5. elipsa
  • 7. 6. parabola
  • 8. 7. hyperbola
  • 9. 8. kulová plocha
  • 10. 9. rotační válcová plocha
  • 11. 10. rotační kuželová plocha
  • 12. 11. rovnoběžné roviny
  • 13. 12. rovina souměrnosti dvou bodů

4.1.

–

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

5.

5. Kružnice. Vzájemná poloha přímky a kružnice, dvou kružnic. Mocnost bodu ke kružnici. Chordála.

  • 1. kružnice
  • 2. tečna, sečna, vnější přímka
  • 3. vzájemná poloha dvou kružnic
  • 4. Mocnost bodu ke kružnici
  • 5. chordála
  • 6. kružnice
  • 7. vzájemná poloha přímky a kružnice
  • 8. Vzájemná poloha dvou kružnic
  • 9. Mocnost bodu ke kružnici
  • 10. Chordála

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

6.

6. Euklidovské konstrukce. Eulerova přímka. Feuerbachova kružnice ostroúhlého a tupoúhlého trojúhelníku.

  • 1. Základní Eukleidovské konstrukce
  • 2. Eulerova přímka
  • 3. Feuerbachova kružnice devíti bodů
  • 4. Vlastnosti Feuerbachovy kružnice
  • 5. Vztah mezi Feuerbachovou kružnicí A Eulerovou přímkou

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

7.

7. Definice a základní vlastnosti shodných zobrazení v rovině. Skládání shodných zobrazení. Klasifikace shodných zobrazení v rovině. Shodnosti přímé a nepřímé.

  • 1. Středová souměrnost
  • 2. Osová souměrnost
  • 3. Posunutí
  • 4. Otočení
  • 5. Skládání dvou osových souměrností
  • 6. Příklady na shodnost

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

8.

8. Definice a základní vlastnosti stejnolehlosti. Dělící poměr a jeho vlastnosti. Skládání stejnolehlosti. Kružnice ve stejnolehlosti.

  • 1. Stejnolehlost - zavedení a definice
  • 2. Stejnolehlost - zobrazení úsečky a přímky
  • 3. Stejnolehlost - zobrazení trojúhelníku
  • 4. Stejnolehlost dvou kružnic
  • 5. Stejnolehlost - tečny ke dvěma kružnicím

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

9.

9. Definice a základní vlastnosti podobnosti. Rozklad přímé a nepřímé podobnosti. Samodružné body v podobnosti. Klasifikace podobnosti v rovině. Věty o podobnosti trojúhelníků.

  • 1. stejnolehlost záporný koeficientem
  • 2. stejnolehlost s kladným koeficientem
  • 3. samodružný bod
  • 4. posunutí
  • 5. středová souměrnost
  • 6. osová souměrnost
  • 7. Otočení
  • 8. Identita
  • 9. kružnice stejnolehlost
  • 10. Stejnolehlost
  • 11. Posunuté zrcadlení
  • 12. Osová souměrnost - dvě rovnoběžné osy = posunutí
  • 13. posunutí kosočtverečné

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

9.6.

–

9.7.

–

9.8.

–

9.9.

–

9.10.

–

9.11.

–

9.12.

–

9.13.

–

10.

10. Kruhová inverze – pojem a základní vlastnosti, Apolloniovy úlohy

  • 1. Příklad 1: Samodružná kružnice v kruhové inverzi
  • 2. Příklad 2: Apolloniova úloha Bod, kružnice, kružnice
  • 3. Příklad 3: Tětivový čtyřúhelník
  • 4. Příklad 4: Kružnice v pásu mezi kružnicemi
  • 5. Příklad 5: Steinerův řetězec kružnic
  • 6. Příklad 6: Trojice kružnic procházející jedním bodem
  • 7. Příklad 7: Čtyřúhelník ABCD
  • 8. Příklad 8: Výpočet
  • 9. Příklad 9: Čtveřice dotýkajících se kružnic
  • 10. Příklad 10: Kruhová inverze, dvě kružnice
  • 11. Kruhová inverze 3
  • 12. Kruhová inverze, dvě kružnice
  • 13. Samodružná kružnice v kruhové inverzi
  • 14. Apolloniova úloha typu ppB
  • 15. Apolloniova úloha - bod, přímka a kružnice

10.1.

–

10.2.

–

10.3.

–

10.4.

–

10.5.

–

10.6.

–

10.7.

–

10.8.

–

10.9.

–

10.10.

–

10.11.

–

10.12.

–

10.13.

–

10.14.

–

10.15.

–

11.

11. Polohové vlastnosti prostorových útvarů. Vzájemná poloha přímek a rovin. Řezy těles rovinou.

  • 1. krychle
  • 2. jehlan
  • 3. Hranol
  • 4. válec
  • 5. koule

11.1.

–

11.2.

–

11.3.

–

11.4.

–

11.5.

–

12.

12. Velikost rovinných a prostorových útvarů. Jordanova teorie míry. Obvod a obsah rovinných útvarů. Povrch a objem těles.

  • 1. Obsah obrazce
  • 2. Objem krychle
  • 3. Objem kužele

12.1.

–

12.2.

–

12.3.

–

13.

13. Odchylky přímek a rovin, vzdálenosti v prostoru.

  • 1. Vzdálenosti přímek a rovin
  • 2. Odchylka přímek
  • 3. Odchylka přímky a roviny, dvou rovin
  • 4. Vzdálenost bodů
  • 5. Odchylka dvou rovin v krychli

13.1.

–

13.2.

–

13.3.

–

13.4.

–

13.5.

–

14.

14. Klasifikace a skládání shodných zobrazení v prostoru. Základní vlastnosti podobností v prostoru. Klasifikace a skládání podobností v prostoru.

  • 1. Pozorování osové souměrnosti
  • 2. Více os souměrnosti
  • 3. Pětiúhelník v osové souměrnosti
  • 4. Víceúhelník
  • 5. Skládání osových souměrností | trojúhelníky
  • 6. Podobnost - pravoúhlé
  • 7. Podobnost úseček
  • 8. Podobnost trojúhelníků

14.1.

–

14.2.

–

14.3.

–

14.4.

–

14.5.

–

14.6.

–

14.7.

–

14.8.

–

15.

15. Mnohostěny, Eulerova věta. Platónové tělesa. Archimédova tělesa

  • 1. Pravidelný čtyřstěn
  • 2. Pravidelný šestistěn
  • 3. Pravidelný osmistěn
  • 4. Pravidelný dvanáctistěn
  • 5. Pravidelný dvacetistěn

15.1.

–

15.2.

–

15.3.

–

15.4.

–

15.5.

–

Információ