[list][*]Két egyenes [i]kitérő,[/i] ha nincs közös síkjuk. (Így közös pontjuk sincs.)[/*][*]Két kitérő egyenes s[i]zögén[/i] a velük párhuzamos, metsző egyenespár szögét értjük.[/*][*]Egy sík és egy egyenes [i]merőleges [/i]ha a sík minden egyenesére merőleges.[/*][*]A síkra merőleges egyenest a sík [i]normálisának[/i], az egyenesre merőleges síkot az egyenes [i]normálsíkjának [/i]nevezzük.[/*][*]Két (vagy több) egyenes transzverzálisa olyan egyenes, amely mindkét (több egyenes esetén az összes) egyenest metszi.[/*][*]Két egyenes [i]normáltanszverzálisa [/i]olyan egyenes, amely mindkét egyenest merőlegesen metszi. Két kitérő, vagy metsző egyenesnek pontosan egy normáltranszverzálisa van. Két párhuzamos egyenesnek végtelen sok.[/*][*]Egy [i]egyenes merőleges[/i] egy [i]síkra[/i], ha merőleges a sík két, egymást metsző egyenesére. (Ez az un. síkra merőleges egyenes tétele).[/*][*]Két [i]sík merőleges egymásra[/i], ha egyikre illeszkedik a másik valamely normálisa. A síkok közötti merőlegesség szimmetrikus reláció.[/*][*]Ha egy sík merőleges két egymást metsző síkra, akkor ezek metszésvonala is merőleges rá.[/*][*]Egy egyenes akkor párhuzamos egy síkkal, ha van a síkban fekvő, vele párhuzamos egyenes.[/*][*]Ha egy egyenes párhuzamos két egymást metsző síkkal, akkor párhuzamos a metszésvonalukkal is.[/*][*]Egy derékszögnek egy síkra eső merőleges vetülete akkor és csak akkor derékszög, ha az egyik szára párhuzamos a síkkal, a másik nem merőleges rá.[/*][/list]

A GeoGebra Programot elindítva a [b]Nézet/3D-s nézet[/b] menüponttal tudjuk bekapcsolni a a 3D_s grafika „rajzlapot” amelyet itt inkább [i]rajztér[/i]nek nevezhetnénk. A rajztér elnevezés azért is indokolt, mert a térnek azt a részét látjuk, amely a képernyő, ill. a 3D-s rajz méretéhez igazodó halvány vonallal jelzett téglatesten belül van. Ugyanezt a GeoGebra [i]vágási téglatest[/i]nek nevezi. Látunk még egy térbeli derékszögű koordinátarendszert, amely tengelyei közül a piros az [i]x[/i] zöld az [i]y [/i]és kék a függőlegesnek tekintett [i]z[/i] tengely. A rajzteret ‑ az ebben ábrázolt objektumokkal együtt ‑ lenyomott jobb egérrel mozgathatjuk. Itt azonban, ha az egér jobb billentyűjét vízszintes mozgás közben engedjük föl, ezzel az alakzatnak adunk egy „lendületet”, amely egyenletesen forgatja az egész ábrát a rajztér középpontján átmenő, [i]z[/i]-vel párhuzamos egyenes körül. Ez nem mindig maga a [i]z[/i] tengely, ugyanis a kurzormozgató nyilakkal elmozdítható az origó az [i]x[/i] ill[i]. y[/i] tengely irányába (épp úgy mint a síkbeli rajzlapon). A [i]z[/i] irányú elmozdításra a Page Up,Page Down billentyűket használhatjuk. [br]A térbeli koordinátarendszerről vagy egy alakzatról készült kép nagyítása, kicsinyítése a (zoomolás) a megfelelő ikonnal, vagy az egérgörgővel oldható meg.[br][br][b]Pont megadása: [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] [/b] Kurzorral pontot csak az [i]xy[/i] sík vágási téglatestén belüli részén, vagy egy már felvett vonalon (pl. egyenes szakasz, körvonal) vagy felületen (pl. sík, sokszög, kúp palást) tudunk felvenni, ha a kurzor érzékeli és ezt jelzi: ( X alakúra változik). Pontot megadhatunk koordinátáival is a parancs sorban.[br] Pl.: [b]P=(1,2,3)[/b][br][br][b]Pont mozgatása: [/b]Ha a kurzor a mozgatandó pont közelébe kerül, akkor először a négy irányba mutató nyilak jelennek meg. Ekkor a pont az [i]xy[/i] síkkal párhuzamosan, vagy adott objektumon mozoghat. Újból a pontra kattintva a kurzor fel-le irányú nyílra változik, ekkor a [i]z[/i] tengely irányába mozgatható.

Legyen adott a tér A, B , valamint a P,Q, R pontja! Szerkesszük meg az f=(A,B) egyenesnek az S=(P,Q,R) síkra eső merőleges vetületét. [br][br]A GeoGebra 3D lehetőségeivel most ismerkedő felhasználóinknak javasoljuk, hogy ezt a feladatot előbb próbálják önállóan megoldani Ezt követően tanulmányozzák az alábbi applet forrásfájlját.

Figyeljük meg a fenti applet elemzésénél, hogy két sík metszésvonala a  [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon]  ikonnal vagy az [b]UtakMetszete(,)[/b] paranccsal adható meg.[br][br]Másik figyelemre méltó, talán kevésbé ismert (vagy követett) a térbeli alakzatok megjelenítéssel kapcsolatos ikon ez [icon]/images/ggb/toolbar/mode_viewinfrontof.png[/icon], amelyet aktivizálva, ha egy síkra, (síkidomra), egyenesre kattintunk, akkor az egész rajz nézőpontja (vetítési iránya) erre merőleges lesz. Pl. ha egy egyenesre kattintunk, és a vetítés iránya merőleges a képsíkra (amit a GeoGebra párhuzamos vetítésnek nevez (helyesen: merőleges vetítés), akkor ez az egyenes egy pontnak (gyakorlatilag egyáltalán nem) látszik.   Ugyanez a hatás elérhető a [b]NézetBeállítása()[/b] paranccsal is.[br]

Ha sík- vagy térgeometriai szerkesztést végzünk, vagyis, ha a rajzlap, vagy a 3D-s nézet az aktív, az ikonsoron részben egyező, részben különböző ikonok jelennek meg. Az azonosak is olykor más eredményere vezetnek attól függően, hogy hol alkalmazzuk. Ezt célszerű - feladatokon keresztül - kitapasztalnunk.

Adjuk meg az A és B pontokat a síkban, majd a térben. Figyeljük meg az (A,B) egyenes egyenletét.[br]

[list][*]Ha az egyenes két pontját a rajzlapon a [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] ikonnal vagy a parancssorban 2-2 koordinátájával adjuk meg, akkor az egyenes implicit formában felírt egyenletét [b]a·x+b·y=c[/b] alakban kapjuk, ahol az [i](a,b)[/i] vektor [url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-11-osztaly/helyvektor-iranyvektor-normalvektor/iranyvektor-iranytangens-es-normalvektor]az egyenes normálvektora[/url]: [i]a=-y(B-A)[/i] , [i]b=x(B-A)[/i], és [i] c =a·x(A)+b·y(A)[/i]. Ez lényegében egy egyváltozós függvény, a fenti appletben e[sub]s[/sub](p)=(a·p-c)/b vagyis egy szám: az e[sub]s[/sub] függvény p helyen vett helyettesítési értéke.[br][br][/*][*]Ha az egyenes két pontját 3D-s nézetben, így 3-3 koordinátájával adjuk meg, akkor az egyenes egyenletét paraméteres alakban kapjuk meg: e[sub]t[/sub]=A+λ(B-A) , akol a λ paraméter írja le az egyenest. Így e[sub]t[/sub](p)=C az a pont az e[sub]t[/sub] egyenesen, amelyet a p paraméter jelöl ki[sub].[br][/sub][br][/*][*]A 3D-s nézet [i]xy[/i] síkjában megjelennek a rajzlap alakzatai, ugyanígy a rajzlapon a rajztér [i]xy[/i] síkjában lévő alakzatok. Ezt az alakzat-tulajdonságok beállításában megváltoztatható. [br][br][/*][*]A rajzlap alakzatait az egérrel "meg lehet fogni", és önmagával párhuzamosan lehet vonszolni. Ekkor vele együtt mozognak azok pontok, amelyekkel előállítottuk. 3D-ben ez nem megoldható.[br][br][/*][*]Két egyenes párhuzamosságára vonatkozó [b]PárhuzamosE(,) [/b]kérdés csak a rajzlapon lévő, vagyis az [i]xy[/i] síkban fekvő egyenesekre vonatkozhat. (Később megmutatjuk, hogy a tér két egyenesére hogyan tehető fel ez a kérdés.)[/*][/list]

Mint láttuk, a GeoGebra síkgeometriában lényegében normálvektorával, 3D-s nézetben irányvektorával adja meg az egyenes egyenletét. (3D-ben egy egyenesnek nem létezik egyértelműen adott normálvektora.)[br][br]Legyen a tér egy pontja [i][b]A[/b]=(a[sub]x[/sub],a[sub]y[/sub],a[sub]z[/sub])[/i], egy vektora [i][b]v[/b]=(v[sub]x[/sub],v[sub]y[/sub],v[sub]z[/sub]) [/i] Ekkor az [i]A[/i] pontra illeszkedő [i]v[/i] irányvektorú egyenes egyenlete e= [b]A[/b]+λ[b]v[/b] alakú, az A-ra illeszkedő [b][i]v[/i][/b] normálvektorú sík egyenlete:[br] [i]a[/i][i][sub]x[/sub]([/i][i]x-v[/i][sub]x[/sub][i])+a[sub]y[/sub](y-v[sub]y[/sub])+[/i][i]a[/i][sub]z[/sub][i](z-v[/i][i][sub]z[/sub][/i][i])=0.[/i] [br][br] Ez azt jelenti, hogy nem csak a GeoGebrában, hanem minden számítőgépes grafikai rendszerben igen kevés számolást igényel egy adott egyenesre merőleges síknak, adott síkra merőleges egyesnek vagy egyenessel párhuzamos egyenesnek , és síkkal párhuzamos síknak a megadása.[br][br]Mi lenne, ha ez az eszköztár nem állna a rendelkezésünkre, és (az idősebbeknek újból, a fiataloknak talán életükben először), "valódi" rajzlapon, valódi körzővel, vonalzóval ceruzával kellene nagy pontosságú rajzokat készíteni térgeometriai alakzatokról?[br][br]Először is igen alaposan támaszkodni kellene a munkalap elején felsorolt geometriai összefüggésekre. Másodszor jobban szem előtt kellene tartanunk "térben gondolkodunk, síkban rajzolunk" elvet. Jól el kellene sajátítanunk az un. [url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/szakkepzes/gepeszet/muszaki-abrazolas/a-monge-fele-ketkepsikos-abrazolas/ketkepsikos-abrazolas]Monge féle két képsíkos ábrázolás[/url] módszereit, gyakorlati fogásait. Ezt követően vállalkozhatnánk a szemléletesség elvét jobban követő [url=http://www.model.u-szeged.hu/data/etc/edoc/tan/LSzilassi/LSzilassi.pdf]axonometrikus és perspektív képek[/url] készítésére.[br][br]A GeoGebra 3D-ben viszont mindezt átugorva egyből a rendelkezésünkre áll a lehetőség, hogy a három dimenziós objektumokat megadjuk és megjelenítsük. Élnünk kell a kapott lehetőségekkel, de ismernünk kell az, algebrai és geometriai korlátait.

Legyen adott a térben az[i] a=(A[sub]1[/sub],A[sub]2[/sub])[/i] és a [i]b=(B[sub]1[/sub],B[sub]2[/sub])[/i] kitérő egyenespár. Szerkesszük meg a normáltranszverzálisukat![br][br]Először oldjuk meg a feladatot a[icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallel.png[/icon], [icon]/images/ggb/toolbar/mode_plane.png[/icon], [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon],[icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonalthreed.png[/icon] ikonokkal hívható parancsok alkalmazásával.

Lényegében ezt az utat kellene követnie annak is, aki mindezt az ábrázoló geometria eszköztárával, papíron szeretné megoldani. A különbség mindössze annyi, hogy ott ezt, [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonalthreed.png[/icon] vagy ezt [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonalplane.png[/icon] a lépést további szerkesztési lépésekre kellene bontani.[br][br]A kitérő egyenesek a keletkező rajzon olykor "metszik" egymást. A klasszikus ábrázoló geometriában fontos feladatnak számított, hogy ezekben az un. fedőpontokban melyik egyenes van a nézőpontunkhoz közelebb: azaz melyik egyenes van előtte a másiknak. A GeoGebra ezt a kérdést megoldja, bár ahhoz, hogy egy jól látható legyen kellően nagyra kellene beállítanunk a vonalvastagságot. Ehelyett ezt úgy oldottuk meg, hogy az adott ill. kapott egyenesek köré rajzoltunk egy-egy változtatható sugarú hengerpalástot. Ez persze nem része a kitűzött feladatnak.[br][br]Ennél lényegesen fontosabb viszont, hogy az [i]a[/i] és [i]b[/i] egyenes normáltranszverzálisa a [b]t=Merőleges(a,b) [/b]paranccsal azonnal megadható, bár egyik ikon sem engedi meg, hogy a parancs bemenő adata két (metsző, vagy kitérő) egyenes legyen.[br][br]Ennek a parancsnak az alkalmazásával előállítható egy logikai függvény, amellyel eldönthető, hogy a [u]tér[/u] [i]a [/i]és [i]b [/i]egyenese párhuzamos-e: [b]¬(DefiniáltE(Merőleges(a,b)))[/b]

Közismert, hogy az euklideszi geometriában a sík két egyenese metsző, vagy párhuzamos. A térben lehetnek kitérők is. A dinamikus geometria eszköztárát használva ezek a kapcsolatok változhatnak, az egyenesek megadásától függően. Ezeket a kapcsolatokat vizsgáljuk meg az alábbi egyszerű példán.[br][br][b]Feladat:[br][/b]Legyen adott az [i]a=(A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]) [/i] és [i]b=(B[sub]1[/sub]B[sub]2[/sub])[/i] egyenes, valamint egy [i]C [/i]pont! Legyen [i]M=[/i][i]a∩b[/i] ! Szerkesszük meg a c=(C,M) egyenest! Vizsgáljuk meg mi történik, ha[i] a [/i]és [i]b[/i] nem metszők: párhuzamosak, egybeesnek, vagy kitérők!

Figyeljük meg, hogy ha az [i]a[/i] és [i]b[/i] egyenesek metszéspontja nem jön létre (vagyis M [u]nem definiált[/u], amit az [b]M=?[/b] felírás jelez, attól még az [i]a∥b[/i] és az [i] a=b[/i] esetben létrejön a [b]c=Egyenes(C,M)[/b] paranccsal megadott egyenes, amelynek az iránya az[i] a[/i] és [u]b[/u] egyenes[u] közös [/u]iránya.[br][br]Úgy is mondhatjuk, hogy ilyen esetben[i] M[/i] az[i] a[/i] és[i] b[/i] egyenes közös [i][size=150]végtelen távoli [/size][/i]pontja, amit a párhuzamos, vagy egybeeső egyenesek irányával adunk meg. (Ugyanez síkgeometriában is így működik.)[br][br]A GeoGebrának ezzel az igen hasznos tulajdonságával beléphetünk a felsőbb matematikának egy igen szép területére, a [i][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Projekt%C3%ADv_geometria]projektív geometria[/url][/i] világába, amelynek [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/nrvbvefm]itt[/url] csak egy pici szeletét villantjuk fel.[br][br]