Unterrichtseinstiege
Table of Contents
- Polarkoordinaten
- Kartesisches und polares Koordinatensystem synchronisieren
- Textaufgaben
- Bewegungsaufgabe PKW - LKW
- Funktionen
- Der Graph einer Funktion als Punktmenge
- Weg-Zeit-Diagramm
- Funktionstyp erkennen
- Reihen
- Achill und die Schildkröte
- Konvergieren oder nicht konvergieren?
- Differentialrechnung
- Differenzen- und Differentialquotient
- Saftbox
- Integralrechnung
- Unter- und Obersumme
- Rotation eines Graphen um die x-Achse
- Wahrscheinlichkeit
- Monte Carlo Methode: Näherung von π
- Würfeln und relative Häufigkeit
- Würfeln und relative Häufigkeit
- Normalverteilung
Kartesisches und polares Koordinatensystem synchronisieren
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Zwei Koordinatensysteme für kartesische und polare Ansicht synchronisiert |
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Zbynek Konecny und Andreas Lindner |
Bewegungsaufgabe PKW - LKW
Ein LKW fährt auf der Autobahn bei St. Pölten mit 80 km/h in Richtung Salzburg. Gleichzeitig startet ein PKW in Wien, das 60 km von St. Pölten entfernt ist, und fährt auf der Autobahn mit 130 km/h ebenfalls in Richtung Salzburg.[br]Stelle für jedes der beiden Fahrzeuge eine Tabelle der Entfernungen von Wien auf.[br]Gib jeweils eine Formel für die Entfernung [math]e_{L}(t)[/math] des LKWs und für die Entfernung [math]e_{P}(t)[/math] des PKWs an und zeichne die zugehörigen Graphen.[br]Lies ab, wann und wo der PKW den LKW überholt und führe eine Berechnung durch.[br][br]Spiele die Animation mit dem Play-Button (links unten) oder mit Hilfe des Schiebereglers für die Zeit t ab.[br][br]Verändere die Geschwindigkeit des LKWs auf 90 km/h und die des PKWs auf 120 km/h.[br]Wie verändern sich dadurch die Graphen im Weg-Zeit-Diagramm?[br]Wann und wo überholt der PKW nun den LKW?
Der Graph einer Funktion als Punktmenge
Der Graph einer Funktion ist eine Punktemenge { (x|f(x)) |x aus der Definitionsmenge von f}.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Drücke mehrmals die Schaltfläche "Mehr Punkte zeichnen", um im Intervall [a; b] die Punkte immer dichter erscheinen zu lassen.[br][/*][*]Im Textfeld "f(x) = ... " kannst du einen Funktionsterm für eine andere Funktion eingeben.[br][/*][*]Weiters kannst du den Graphen mit der Schaltfläche [button]Graph ein/aus[/button] anzeigen lassen.[br][/*][/list][br]Wenn die einzelnen Punkte bereits sehr dicht liegen, kannst du mit [i]Shift - Scrollrad [/i]in die Konstruktion hineinzoomen und wieder einzelne Punkte erkennen.
Achill und die Schildkröte
Differenzen- und Differentialquotient
[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]
Multiple Choice Fragen
Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an.
Unter- und Obersumme
Das Applet zeigt die [b]Ober- bzw. Untersumme[/b] für die [b]Funktion f[/b] im Intervall [b][a; b][/b].[br][br]Verändere mit dem Schieberegler die Anzahl der Unterteilungen n im Intervall [a; b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Ab wie vielen Unterteilungen unterscheiden sich Unter- und Obersumme der Funktion f(x) = 0,1·x² im Intervall [3; 6] um weniger als 0,2?[/*][*]Untersuche die Funktion f(x) = cos(x).[br]Beachte, wie die Unter- bzw. Obersumme in jedem Teilintervall stets das Minimum bzw. Maximum annimmt.[br]Berechne die Unter- bzw. Obersumme im Intervall [0; π] für n = 30.[/*][/list][br]Hinweis: [br]Die Folge der Ober- bzw- Untersummen muss nicht monoton fallend bzw. monoton steigend sein.[br]Am Beispiel [math]f\left(x\right)=e^{sin\left(-x^2\right)}[/math] kann das überprüft werden.
Monte Carlo Methode: Näherung von π
In ein Quadrat der Seitenlänge 2 werden zufällig 500 Punkte eingezeichnet. [br]Durch die Anzahl der Punkte, die innerhalb des Kreises mit Radius 1 liegen, kann näherungsweise die Zahl π bestimmt werden.[br]Dieses Verfahren heißt [b]Monte Carlo Methode.[/b][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Starte die Simulation.
Andreas Lindner