Nachdem wir nun in der Lage sind, verschiedene Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen zu untersuchen, wollen wir nun versuchen, anhand unserer Ergebnisse den Funktionsgraphen zu skizzieren. Dies verdeutlichen wir an einem Beispiel.[br][br]Wir betrachten die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1}{x^3-3x^2}[/math] und untersuchen an ihr alle uns bekannten Eigenschaften.[br][br][b]1. Definitionsbereich und Polstellen.[/b][br][br]Wir untersuchen, an welchen Stellen der Nenner Null wird: [math]x^3-3x^2=0[br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][/math][br] [math]x^2\left(x-3\right)=0[/math] [br] [math]x^2=0[/math] oder [math]x-3=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] (2-fach); [math]x_2=3[/math] (1-fach)[br]Der Definitionsbereich lautet: [math]D=\mathbb{R}\backslash\left\{0;3\right\}[/math]. An der Stelle [color=#0000ff]x = 0[/color] hat der Graph eine [color=#0000ff]2-fache Polstelle ohne VZW[/color] und an der Stelle [color=#38761d]x = 3[/color] eine [color=#38761d]1-fache Polstelle mit VZW[/color].[br][br][br][b]2. Symmetrie[br][/b][br]Schon der Nenner enthält gerade und ungerade Exponenten und lässt daher keine Symmetrie erkennen. Dasselbe gilt deshalb auch für f selbst.[br][br][br][b]3. Nullstellen[br][/b][br]Wir setzen den Funktionsterm gleich null: [math]f\left(x\right)=0[/math][br] [math]\frac{x^2+2x+1}{x^3-3x^2}=0[/math] |[math]\cdot\left(x^3-3x^2\right)[/math][br] [math]x^2+2x+1=0[/math][br] MNF: [math]x_1=-1[/math] und [math]x_2=-1[/math] [br][color=#ff0000]x = -1[/color] ist also eine [color=#ff0000]zweifache Nullstelle ohne VZW[/color], d.h. dort berührt der Graph die x-Achse.[br][br][br][b]4. Verhalten im Unendlichen[br][/b][br][math]lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2+2x+1}{x^3-3x^2}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2}{x^3}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{x}=\pm0[/math][br]Der Graph nähert sich auf der rechten Seite von oben (+0) der x-Achse und auf der linken Seite von unten (-0). Die x-Achse ist also eine waagerechte Asymptote.[br][br][br]Damit haben wir alles beisammen, um den Funktionsgraphen zu skizzieren. Im folgenden Applet sind alle Ergebnisse eingetragen. Drücken Sie auf den Play-Button, um das Skizzieren des Graphen zu verfolgen.

Abschließend finden Sie ein Aufgabenblatt, mit dem Sie das Untersuchen und Skizzieren von gebrochen-rationalen Funktionen üben können.